sábado, 25 de agosto de 2012

Examen Admision UNI 2012-II: Problema de funciones genera discrepancias

Los expertos del Grupo Generación de Oro, se han pronunciado respecto del problema de funciones propuesto en el reciente examen de admisión UNI 2012-II. Como mencionamos en un post anterior las academias preuniversitarias más importantes de nuestro medio NO se pusieron de acuerdo al dar la clave de este problema, y probablemente este sea uno de los problemas conceptuales de matemática más errado por los postulantes en este examen. La discrepancia está en el valor de verdad de la sentencia III. Para las academias Cesar Vallejo y Trilce esta es verdadera (V) y para las academias Pamer  y Saco Oliveros es falsa (F).
El problema en mención es el siguiente:
PROBLEMA
Respecto de la función f: A → R tal que:
Indique la secuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F):
Resolución
Antes de dar nuestro punto de vista respecto de la tercera sentencia, debemos señalar que hay dos definiciones del objeto matemático llamado función (ver fuente). Pero la definición más difundida, que hace uso del concepto de codominio, es la siguiente.
Según esto, una función esta definida por tres conjuntos: su dominio A (conjunto de definición o conjunto de partida), que es el conjunto de existencia de ella misma, su codominio B (conjunto final o conjunto de llegada), que puede ser un subconjunto o un superconjunto del conjunto imagen, y el grafo de la función G(f), que es la regla o algoritmo para obtener la imagen de un cierto elemento arbitrario del dominio.
Lo que diferencia una función de una relación es lo que se menciona en el item 3, que lo que quiere decir es que a cada elemento del dominio se le asigna un único elemento del codominio.
Según esta definición, puede darse el caso de que dos funciones con el mismo grafo sean distintas por tener codominio distinto. Por ejemplo las funciones f: R → R con f(x) = x2 y la función g: R → R+ con f(x) = x2, son diferentes.
Mientras que el codominio es el conjunto de valores donde pueden estar los resultados, la imagen es el conjunto de resultados. En el ejemplo anterior la función f tiene como codominio el conjunto de los números reales y como conjunto imagen el conjunto de los números reales mayores que cero, ya que todo número real al cuadrado siempre es mayor o igual a cero.
Las funciones se pueden clasificar en inyectivas, sobreyectivas y biyectivas:

INYECTIVA
Una función es inyectiva si a cada valor del dominio le corresponde un valor distinto en el codominio (en el dominio no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen). Matemáticamente:
Una función inyectiva es o bien monotonamente creciente o decreciente (ver función monótona).
Esquemáticamente, cualquier recta trazada en forma paralela al eje x corta a la gráfica de una función inyectiva en un solo punto.
SOBREYECTIVA
Una función es sobreyectiva o suprayectiva si todos los elementos del codominio coinciden con el conjunto imagen. Matemáticamente:
Las funciones sobreyectivas recorren todo el codominio, por lo que ninguna anti-imagen puede estar vacía. La definición de función sobreyectiva asume que esta tiene un codominio especificado previamente. De lo contrario, la noción de suprayectividad no tiene sentido. 

BIYECTIVA
Una función es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva.

En la siguiente gráfica se ejemplifican estos tipos de funciones.
Por ejemplo, la función f: A=[-4;4] → B=[0;16] NO es inyectiva ya que una recta paralela al eje x la corta en dos puntos diferentes, pero si el dominio se restringiera a A=[0;4] si lo sería. La función g: A=[-2;2] → B=[-8;8] SI es inyectiva ya que cualquier recta paralela al eje x la corta en un solo punto.

FUNCIÓN INVERSA
Una función dada f puede tener inversa o no, es decir puede existir otra función denominada función inversa que al componerla (ver función compuesta) con f resulte en la identidad, del mismo modo que un número multiplicado por su inverso da 1. Por ejemplo, la inversa de la función definida como f(x) = x2 es f -1(x) = √x ya que f(f -1(x)) = x.
La condición para que una función tenga inversa es que cada uno de los elemento del dominio le corresponda una y solo una imagen del codominio (función inyectiva); del mismo modo todos y cada uno de los elementos del codominio debe corresponderle uno y solo un elemento en el dominio (función sobreyectiva).

Resuniendo, la  condición para que una función tenga inversa es que esta sea biyectiva.
Por tanto como la función f del problema UNI-2012 no es sobreyectiva, la función no posee inversa y por tanto la tercera sentencia es Falsa (CLAVE C).
Me resulta claro que los que opinan que esta sentencia es Verdadera se basan en la otra definición de función (tradicional), de donde se colige que si una función es inyectiva entonces tiene inversa,
La gráfica de la función f, que se muestra a continuación, posee dos asíntotas: x = 2 ; y = 3. Como es esta es monótonamente decreciente, es inyectiva, pero no es sobreyectiva debido a que el codominio (números reales) no coincide con el conjunto imagen (la función NO está definida en todo el codominio ya que el conjunto imagen, de esta función es <3, ∞>).
A continuación,problemas relacionados e con este tema.
Un agradecimiento a todos los profesionales que aportaron en esta entrada (en orden alfabético):
Israel Diaz
Guillermo Pflucker
Oscar Reynaga
Enrique Romero

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