lunes, 20 de agosto de 2012

Examen Admision UNI 2012-II: Problema programación lineal sin clave

Según expertos del Grupo Generación de Oro, la respuesta correcta del problema de programación lineal propuesto en el reciente examen de admisión UNI 2012-II, NO aparece en las alternativas de opción múltiple dadas. Como mencionamos en un post anterior, la resolución propuesto por la academia Cesar Vallejo, que menciona que en dicho problema NO hay clave, es la que mas se acerca a la correcta, pero también ellos cometieron un sutil error (para las academias Trilce, Pamer y Saco Oliveros la clave es E).
El problema en mención es el siguiente:

PROBLEMA
Si la solución de Max {ax + by} se encuentra en x = 3, sujeto a:
                                          x  ≥  0
                                     y + x  ≤  4
                                     y - x  ≥  -2
determine en qué intervalo se encuentra a/b.
Resolución
La programación lineal es una herramienta que ha permitido el ahorro de miles de millones de dólares en el mundo de los negocios, pues en esencia permite asignar recursos limitados entre actividades competitivas en forma óptima. Permite elegir el nivel de ciertas actividades que compiten por escasos recursos necesarios para realizarlas. Se puede determinar la cantidad de recursos que consumirá cada una de las actividades elegidas.
Se considera el desarrollo de la Programación Lineal como uno de los avances científicos más importantes de mediados del siglo XX.
Resolver un problema de programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función lineal, denominada función objetivo (de la forma f(x,y) = ax + by), estando las variables sujetas a una serie de restricciones expresadas mediante inecuaciones lineales. El conjunto de todas las soluciones posibles se denomina conjunto solución factible.
La región factible está formada por la intersección o región común de las soluciones de todas las inecuaciones. Como sucede con los sistemas de ecuaciones lineales, estos pueden presentar varias opciones respecto a sus soluciones: puede no existir solución, en el caso de que exista el conjunto solución puede ser acotado o no.Si la región factible está acotada, su representación gráfica es un polígono convexo con un número de lados menor o igual que el número de restricciones.
La región factible incluye o no los lados y los vértices, según que las desigualdades sean en sentido amplio (≤ o ≥) o en sentido estricto (< o >).
La solución óptima son los puntos de la región factible donde la función objetivo alcanza el valor óptimo, es decir, el máximo o el mínimo. Si la solución óptima es única, es uno de los vértices de la región factible. Si existen varias soluciones, son todos los puntos que están sobre uno de los lados.
Si existe una solución que optinice la función objetivo, ésta debe encontrase en uno de los vértices de la región fáctible.
En este problema determinamos la región factible resolviendo el sistema de inecuaciones dado.
Los vértices de la región fáctible son: A(0;-2), B(0;4) y C(3;1). Como (3;1) es la solución óptima de máximo, debe cumplirse que:
De esto se deduce que -a ≤ b ≤ a y por tanto a > 0.
Dividiendo ambos miembros de la inecuación anterior entre a y teniendo en cuenta que b tampoco puede ser cero, porque si esto fuese cierto no habría nada que maximizar, tenemos que:
Pero como del enunciado del problema se concluye que x = 3 es la única solución a/b no puede ser ni 1 ni -1. Si a = b = k entonces la función objetivo tendría la forma k(x + y) con k > 0, luego la recta definida por k(x + y) = c, no solo se produciría un máximo en x = 3 sino en los infinitos que pertenecen a la recta x + y = 4. Del mismo modo, si a = -b = k, se produciría un máximo en los infinitos que pertenecen a la recta y - x = -2.
Por tanto la solución de este problema es el conjunto:
Un agradecimiento a todos los profesionales que aportaron en esta entrada (en orden alfabético):
Guillermo Pflucker
Oscar Reynaga

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