Nuestro amigo y colega del curso de Física
Oswaldo Farro, publicó en el face un video en donde un instructor ruso prepara a sus seleccionados para la
Olimpiada internacional de Física 2011 resolviendo problemas y este es uno de ellos.
PROBLEMA
Un péndulo simple de longitud l = 80 cm realiza pequeñas oscilaciones en un plano vertical con una amplitud angular θo = 0,1 rad. Una lente delgada convergente con una distancia focal f = 15 cm se dispone de tal manera que su eje óptico principal pasa por el punto mas bajo del péndulo y es perpendicular al plano de oscilación. Si la distancia de la lente al plano de oscilación es 1,2 f, determinar la velocidad de la imagen del extremo del péndulo formada sobre la pantalla en el instante en que el hilo forma un ángulo 0,8θo con la vertical.
RESOLUCIÓN
Primero determinemos la distancia de la lente a la pantalla en donde se forma la imagen en forma nítida (
distancia imagen), a partir de la
ecuación de los focos conjugados o de Descartes, tenemos:
De aqui se deduce que la
distancia imagen es
i = 90 cm y por tanto el
aumento (magnificación) es
A = -i/θ = -5. Esto quiere decir que la imagen es real invertida; tiene un tamaño que es cinco veces el tamaño del objeto y que cuando el péndulo esta en la parte superior derecha su imagen esta en la parte inferior izquierda..
Luego, señalemos que debido a la pequeña amplitud angular θ
o, el movimiento que describe el extremo del péndulo es aproximadamente un
movimiento armónico simple (MAS).
De las ecuaciones del MAS se deduce que la
posición angular θ del péndulo, esto es la posición de la cuerda respecto de la posición central, y su
velocidad angular Ω varían con el tiempo según estas relaciones:
De la ecuación (1), debido a que θ = 0,8 θ
o, se deduce que
cos(ωt + φ) = 0,8 y por tanto
sen(ωt + φ) = 0,6.
En estas ecuaciones,
ω representa la
frecuencia angular que es la principal característica de todo MAS y para el caso de un
péndulo simple esto es:
De la ecuación (1), reemplazando los parámetros conocidos se deduce que la velocidad angular instantánea Ω (en módulo) es: Ω =3,5 s
-1.0,1 rad.0,6 =0,21 rad/s.
Por otro lado, recordando que la velocidad lineal
v de una partícula en un
movimiento circular es igual al producto de su velocidad angular
ω por el radio de la circunferencia
R (
v = ωR), se deduce que
v = 0,168 m/s.
Finalmente, como la imagen es cinco veces el tamaño del objeto, la velocidad de la imagen será tambien será cinco veces la velocidad del objeto, es decir:
A continuacion les dejo un par de problemas relacionados:
PROBLEMA
Un resorte ideal de constante k = 300 N/m pende de un soporte, sin tener colgada ninguna carga, y a su extremo inferior se le une un objeto de 1,5 kg que se suelta partiendo del reposo. El objeto comienza a oscilar verticalmente alrededor de su posición de equilibrio, y una lupa con una distancia focal f = 90 cm
se dispone a 30 cm de él de manera tal que su eje óptico principal pasa por dicha posición de equilibrio y es perpendicular al segmento de oscilación. Determinar la máxima aceleración que experimenta la imagen del objeto.
El respuesta de este problema es .
PROBLEMA
Si la rapidez angular con el que oscila un péndulo simple está dado por Ω( t ) = π cos2πt rad/s, halle la máxima tensión (en N) en la cuerda que sostiene la masa m = 2 kg. (g = 10 m/s2 y π2 = 10)
El respuesta de este problema es 25.
