Choques elásticos múltiples

Me comentan que este problema fue propuesto el día de hoy en un examen parcial en la CEPREUNI.

PROBLEMA
Cinco cuerpos se colocan sobre una línea recta tal que sus masas consecutivamente son m, m/2, m/4, m/8, m/16 respectivamente. Por la misma recta se mueve un cuerpo de masa 2m con velocidad 9/16 m/s y choca con el cuerpo de masa m. Después de los choques la velocidad que adquiere el cuerpo de masa m/16 es (en m/s). (Los choques son elásticos y no hay fricción con el piso).

Resolución

Como la razón entre las masas de los bloques de izquierda a derecha se encuentran en progresion geométrica de razón K = 1/2, y todos los choques son elasticos, es de esperar que la velocidad con que se mueve cada bloque despues del choque sea un porcentaje de la velocidad que tenia el cuerpo que lo empujó antes del choque.

Por otro lado, como los choques son elásticos, se cumple que la velocidad relativa de acercamiento antes del choque es igual a la velocidad relativa de alejamiento despues del choque.

En cada choque se cumplirá el principio de conservación de la cantidad de movimiento antes y que la velocidad relativa antes y despues del choque son iguales.

Teniendo en cuenta estos criterios, analizaremos el primer choque y luego generalizaremos estos resultados a los choques subsecuentes.

Se plantean las siguientes ecuaciones:

Resolviendo estas ecuaciones:

Según esto la velocidad del bloque 2 es igual al doble de la velocidad del bloque 1 entre 1 mas la razón de sus masas. Esta misma relación se puede usar para determinar las velocidades de los demas bloques:

Reemplazando datos en esta última ecuación deducimos que la rapidez del último bloque es de 2,37 m/s.

A primera vista puede parecer extraño que la velocidad del último bloque sea mayor que la del primero, pero es facilmente explicable ya que al ser la masa del bloque "chocado" menor que la del bloque "chocador" su velocidad del primero será mayor que la que tenía el segundo.

Trabajo realizado para hundir un bloque en dos líquidos

El día de hoy domingo 18 de noviembre se llevó a cabo la tradicional evaluación de profesores que realiza anualmente la corporación educativa Trilce a todas sus planas docentes.

En esta evaluación se propuso un problema a la plana de Física que me parecio interesante:

PROBLEMA
Se deja flotar un cubo de arista igual a L = 20 cm en un recipiente que contiene aceite y agua como se muestra en la figura. Considerando ρ_cubo = 0,32 g/cm³, ρ_aceite = 0,8g/cm³ y ρ_agua = 1 g/cm³, hallar el trabajo mínimo necesario de una fuerza vertical hacia abajo que permite ubicar el cubo íntegramente sumergido en agua. (g = 10 m/s²)

Resolución

Primero determinemos la profundidad a la cual el cubo se encuentra en equilibrio sumergido en aceite. Haciendo diagrama de cuerpo libre y considerando que solo dos fuerzas actuan sobre el cubo, tenemos que:

Es decir, el cubo se encuentra sumergido 8 cm y por tanto h = 2 cm.

El trabajo necesario para sumergir el cubo será mínimo cuando este se hunda muy lentamente. Según esto, determinaremos este trabajo como una diferencia de energías potenciales entre la posición final e inicial. La posición final del cubo está definida por y₁ = L + 0,5L = 30 cm.

Determinemos la energía potencial hidrostática en la posición inicial y final. La energía potencial hidrostática en la posición inicial:

La energía potencial hidrostática en la posición final:

La energía potencial gravitatoria en la posición inicial, respecto del nivel de referencia mostrado en la figura:

Finalmente, por el teorema del trabajo y la energía mecánica:

Problemas interesantes de Física de diferentes partes del mundo

Una vez mas nuestro amigo Hugo Luyo Sanchez, del blog (Mathematicorum y Yo), publicando problemas interesantes propuestos en otras latitudes.

Este problema es de origen indio:

PROBLEMA
De una altlna h = 1,0 m son liberadas libremente esferas en cualquier instante de tiempo, sobre una plataforma que oscila en la dirección vertical con una ley armónica cuya amplitud es A = 1,0 cm y fiecuencia f = 50 Hz. Los choques de la esfera con la plataforma son absolutamente elásticos y el rozamiento del aire es despreciable. Determine que parte de las esferas después del choque suben a una altura mayor que la inicial. Con que valor de frecuencia f₁ debe oscilar la plataforma (con esta amplitud), para que el 99 % de las esferas salten mas que la altura inicial.

Resolución

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Este problema es de una olimpiada rusa pasada:

PROBLEMA
Dentro de un tubo delgado sin fricción, avanzan hacia la derecha con la misma velocidad cuatro bolas pequeñas idénticas de modo que las distancias entre ellos son l₁, l₂ y l₃ (Ver figura). El tubo tapado con un corcho. ¿Cómo de moverá el tubo y las esferas una vez que haya terminado todas las colisiones?. Asuma que todos los choques son elásticos tanto entre las bolas como entre las bolas y el corcho.

Resolución

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Movimiento de partícula electrizada en un campo eléctrico

Nuestro amigo Hugo Luyo Sanchez, autor del blog (Mathematicorum y Yo), suele publicar en en el facebook problemas interesantes propuestos en otras latitudes, como este problema de un examen de ingreso al prestigioso Instituto Militar de ingeniería de Rio de Janerio (IME).

El problema es el siguiente:

PROBLEMA
La figura presenta una fuente de luz y un objeto con carga +q y masa m que entra en una región donde existe un campo eléctrico E uniforme y sin influencia del campo gravitatorio. En el instante t = 0, sus velocidades horizontales iniciales son v y 2v, respectivamente. Halle:
a) El instante t en el que el objeto choca con la pantalla;
b) La ecuación de la posición de la sombra del objeto en la pantalla en función del tiempo;
c) La velocidad máxima de la sombra del objeto en la pantalla;

Resolución

Antes que nada diremos que todo partícula electrizada que se mueve en el interior de un campo electrostático uniforme, y sin considerar la influencia del campo gravitarorio ni la resistencia del aire, describe movimiento parábolico en donde su aceleración es paralela a la dirección del campo de fuerzas electrostático cuando su carga es positiva. Este movimiento es similar al movimiento de un proyectil lanzado a un campo gravitatorio uniforme.

A partir de la segunda ley de newton se deduce que la aceleración constante con que se mueve esta partícula electrizada es:

Para determinar el instante en que el objeto choca en la pantalla se analiza cinemáticamente el movimiento de la proyección vertical del parabólico (MRUV):

Para determinar la ecuación de la posición de la sombra del objeto sobre la pantalla, consideremos la posición del objeto y de la fuente de luz transcurrido un tiempo t.

Teniendo en cuenta que los triangulos rectángulos mostrados son semejantes, podemos plantear que (razón de semejanza):

De donde despejando x:

Partícula que rota en el interior de un campo de fuerzas no uniforme

Nuestro amigo Hugo Luyo Sanchez, autor del blog (Mathematicorum y Yo), ha colocado en su muro del facebook un problema interesante de un examen de admisión de un prestigioso Instituto Tecnologico brasileño (ITA).

El problema es el siguiente:

PROBLEMA
Un disco con su eje de rotación inclinado un ángulo α respecto de la vertical, gira con velocidad angular constante ω. El disco se encuentra inmerso en una región del espacio donde existe un campo magnético B uniforme y homogeneo, orientado paralelamente al eje de rotación del disco. Un pequeño disco de masa m y carga q > 0 se encuentra sobre el disco, en reposo respecto a este, y situado a una distancia R desde el centro, como se muestra en la figura. Si μ es el coeficiente de fricción de la partícula con el disco y g la aceleración de la gravedad, determinar qué valor debe tener ω para que el pequeño disco permanezca en reposo respecto de ella.

Resolución

Antes que nada diremos que todo cuerpo que se encuentra apoyado en un plano inclinado, independiente si se mueve o no respecto de él, se puede considerar que se encuentra sometido a dos campos de fuerzas uniforme: uno que tiene la dirección de la recta de máxima pendiente de dicho plano, cuya intensidad es g', y otro que tiene una dirección perpendicular a dicho plano, cuya intensidad es g'', siendo ambos componentes de la aceleración de la gravedad.

Por otro lado, cuando una partícula electrizada se mueve en el interior de un campo magnético esta experimenta una fuerza magnética F_m (parte de la Fuerza de Lorentz) que tiene ua dirección perpendicular a la velocidad v y al campo magnético B. y cuyo sentido se determina por la regla de la mano derecha.

Como el pequeño disco gira en un campo magnético homogéneo describiendo un movimiento circular uniforme se deduce que las magnitudes de la fuerza centrípeta F_cp y de la fuerza magnética F_m permanecerán constantes.

Teniendo en cuenta que en todo momento la fuerza centripeta F_cp es la resultante de la fuerza de gravedad equivalente F_g, la fuerza megnética F_m y la fuerza de rozamiento F_r, se deduce que cuando el pequeño disco pasa por la posición mas baja de su trayectoria la fuerza de rozamiento F_r tomará su máximo valor.

En esta posición, la fuerza centripeta F_cp que apunta hacia arriba es la resultante de la fuerza de rozamiento F_r, que es paralelo a F_cp, de la fuerza de gravedad equivalente F_g y de la fuerza megnética F_m, que son antiparalelos a F_cp.

Aplicando la fórmula de la fuerza centrípeta al pequeño disco cuando pasa por la posición mas baja tenemos:

Resolviendo esta ecuación de 2do grado respecto de la variable ω (usando la fórmula general), se deduce que esta velocidad angular ω es:

Online Physics Brawl: Competencia de Física online

Esta es competencia de Física online que es promovida por los estudiantes de la facultad de física y matemática de la universidad de la República Checa. Para participar debes inscibirte en www.physicsbrawl.org, tener una conexión a internet y estar online el jueves 6 de Diciembre de 5 a 8 pm.
La inscripcion es por equipos de hasta cinco intregrantes clasificados en dos categorías: secundaria (alummos de secundaria) y abierto (universitarios, profesores, cualquier persona).

Algunos problemas de la competencia pasada son los siguientes:

PROBLEMA
Dos residentes gorditos de Venecia Paolo y Francesca (con masas m_P = 180 kg y M_f = 130 kg) deciden ir a dar un paseo en góndola. Sin embargo, ninguno de los gondoleros les permitiría entrar al bote, porque se hundiría. Afortunadamente, se las arreglaron para encontrar un gondolero que diseñó el dispositivo que se muestra en la figura. Paolo y Francesca fueron atados a los extremos de la cuerda de tal manera que al principio Francesca estaba en la parte superior, pero luego se cambió con Paolo. ¿Qué tan alto debe ser el dispositivo para que el bote pueda atravesar el canal? El tiempo de viaje es t = 60 s. Supongamos que si este dispositivo se utiliza, la góndola no se hunde. Puede despreciar la fricción, la masa de la cuerda y los momentos de inercia de todas las poleas.

PROBLEMA
Imagine el juguete para hámsters mostrado en la figura. El cilindro es libre de rotar alrededor del centro O. El hámster se coloca en un punto de la placa horizontal que adherida al cilindro a una distancia h desde su eje de rotación. ¿Cómo debe moverse el hámster para que la placa permanesca en posición horizontal? El coeficiente de fricción entre el hámster y la placa es f.

PROBLEMA
Imagine un tubo en forma de U lleno de mercurio, y una burbuja de altura h₀ que flota en el interior (ver figura adjunta). Describe lo que sucedería si se cambia la atmósfera circundante de las siguientes maneras. Asumir que la densidad del mercurio y la del tubo de vidrio es independiente de la temperatura. También suponer que el aire circundante se comporta como un gas ideal. El estado inicial de la atmósfera se describe por la temperatura T₀ = 300 K, y la presión P_A = 10·10⁵ Pa. Además, supongamos que el sistema está en un equilibrio termodinámico, en todo momento, y que la burbuja tiene una forma cilíndrica.
1. Ambos extremos del tubo están abiertos, y se duplica la temperatura.
2. Ambos extremos del tubo están cerrados, y se duplica la temperatura.
3. Sólo uno de los extremos del tubo está cerrado y se duplica la temperatura.
Para cada uno de estos casos, determinar el nuevo tamaño de la burbuja, y la diferencia de altura entre las columnas de mercurio en las dos ramas.

Animense, formen sus equipos e inscribanse. I did it!

Fuente: Examenes pasados.

Young & Freedman: Física Universitaria Volumen 1 (12 Ed. 2009)

Un excelente libro universitario de Física que lo pongo disponible para descarga solo hasta el 31/10/2012.

Volumen 1:
1. Unidades, cantidades físicas y vectores.
2. Movimiento en línea recta.
3. Movimiento en dos o tres dimensiones.
4. Leyes del movimiento de Newton.
5. Aplicaciones de las leyes de Newton.
6. Trabajo y energía cinética.
7. Energía potencial y conservación de la energía.
8. Momento lineal, impulso y choques.
9. Rotación de cuerpos rígidos.
10. Dinámica del movimiento rotacional.
11. Equilibrio y elasticidad.
12. Gravitación.
13. Movimiento periódico.
14. Mecânica de fluidos Ondas/Acústica.
15. Ondas mecánicas.
16. Sonido y el oído Termodinámica.
17. Temperatura y calor.
18. Propiedades térmicas de la materia.
19. La primera ley de la termodinámica.
20. La segunda ley de la termodinámica.

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