Problemas físicos de máximos y mínimos

Problemas de valores extremos (máximos o mínimos) son frecuentes en todas las áreas de la ciencias.

En este post les mostraré algunos problemas físicos de este tipo y la manera como resolverlos.

El método formal para determinar el valor extremo que toma una magnitud física consiste en establecer una relación entre esta y otra magnitud que puede considerarse como variable independiente y analizar para qué valor de esta variable independiente la magnitud toma un valor extremo máximo o mínimo. Este tipo de problemas puede ser resuelto aplicando el concepto de derivada de una función, no obstante trataremos de resolverlos por métodos más elementales.

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PROBLEMA
Una partícula es lanzada desde el punto A del plano inclinado mostrado en la figura. Determinar el mínimo valor que puede tomar la rapidez de lanzamiento V_o con la condición que llegue al punto B. Despreciar toda clase de rozamiento.

Como vimos en un post anterior, el movimiento parabólico de un cuerpo en el campo de la gravedad puede ser considerado como la composición de un movimiento rectilíneo uniforme con una velocidad igual a la velocidad de lanzamiento y de un movimiento vertical de caida libre partiendo del reposo. Denominando t al tiempo que le toma a la partícula en impactar en el plano, y recordando las fórmulas del MRU y del MVCL, tenemos:

De la figura:

Eliminando la variable t de estas ecuaciones, y despejando la velocidad V_o, tenemos:

Analizando esta expresión se deduce que la velocidad V_o tomará su valor mínimo, cuando la expresión trigonométrica del denominador, que lo llamaremos E, tome su valor máximo. Expresando E en función del ángulo doble, y agrupando, tenemos:

La expresión trigonométrica E tomará su máximo valor cuando la expresión (7 cos 2θ + 24 sen 2θ) sea máxima. La matemática demuestra que el máximo valor de expresiones de este tipo es la raíz cuadrada de 7² + 24², es decir 25.

De esto se concluye que el máximo valor que toma E es 16 y por tanto el mínimo valor de V_o es:

A continuación les planteo algunos problemas físicos de máximos y mínimos.

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PROBLEMA
Una partícula es lanzada desde el punto A de una superficie cilíndrica de radio R, cuyo eje es una recta horizontal que pasa por O, con una velocidad inicial cuya dirección pasa por O. Determinar el tiempo máximo que puede permanecer en el aire dentro del cilindro antes de chocar con el cilindro. Despreciar toda clase de rozamiento.

Ver resolución

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PROBLEMA
Si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie horizontal es μ, y la masa del cubo uniforme es m, ¿con qué fuerza mínima es necesario tirar el cubo por su arista superior manteniendo su estado de reposo?

Métodos geométricos para resolver problemas de equilibrio

Como vimos en un post anterior, si un cuerpo se encuentra en equilibrio y se encuentra sometido a la acción de tres fuerzas no paralelas, las líneas de acción de estas deben ser concurrentes.

Esto permite resolver problemas de cuerpos en equilibrio sometido a la acción de tres fuerzas por criterios puramente geométricos.

Por ejemplo determinemos la posición que define el equilibrio de una barra uniforme y homogénea apoyada en dos superficies completamente lisas.

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PROBLEMA
Determinar el ángulo θ que define la posición de equilibrio de la barra mostrada en la figura. Despreciar el rozamiento.

La resolución de este problema por criterios geométricos es bastante simple.

Como las líneas de acción de las tres fuerzas que actúan sobre el cuerpo deben ser concurrentes (punto O) y que M es el punto de aplicación de la fuerza de gravedad que actúa sobre la barra de longitud 2a, construimos el siguiente gráfico.

Como los triángulos rectángulos AOM y MCB son congruentes (caso ALA), M es punto medio de OC. Aplicando la definición trigonométrica de tangente al triángulo OCB tenemos:

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PROBLEMA
Determinar el ángulo θ que define la posición de equilibrio de la barra mostrada en la figura. Despreciar el rozamiento.

La resolución de este problema por criterios geométricos también es bastante simple.

Como las líneas de acción de las tres fuerzas que actúan sobre el cuerpo deben ser concurrentes, se verifica que el cuadriláero AOBC es un rectágulo siendo OM un segmento vertical (línea de acción de la fuerza de gravedad). Como en el triángulo AOB la longitud de la mediana OM relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa, se verifica que el triángulo AMO es isóceles y por tanto los ángulos CAB y MOB son congruentes (también se verifica que los puntos M y C están en una misma vertical).

Como el ángulo θ es la diferencia de las medidas de los ángulos ABC y el ángulo α, tenemos que:

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PROBLEMA
Determinar el ángulo θ que define la posición de equilibrio de la barra mostrada en la figura. Despreciar el rozamiento.

La resolución de este problema por criterios geométricos es bastante más complejo que los casos anteriores.

Sea m la longitud del segmento OB. Aplicando, la ley de senos al triángulo AOB determinaremos una relación entre m y a.

Como los triángulos rectángulos OCB y MCB tienen catetos iguales tenemos que:

Dividiendo miembro a miembro las relaciones anteriores, obtenemos una ecuación trigonométrica que tenemos que resolver:

Desarrollando el coseno de la diferencia, dividiendo ambos miembros de esta relación entre cos θ, y despejando la tangente del ángulo θ tenemos:

Finalmente, desarrollando el seno de la suma, simplificando y agrupando tenemos:

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PROBLEMA
Si la barra mostrada es de peso despreciable, determinar la medida del ángulo θ que define su posición de equilibrio. (AP = 2 PB)

La respuesta de este problema es θ = tan^-1(2^-1). Intentalo!

PROBLEMA
Si la barra mostrada se encuentra en equilibrio, y se desprecia el rozamiento, determinar el valor de k, si:

La respuesta de este problema es de 2/√3. Intentalo!

PROBLEMA
Si la barra mostrada de longitud L se encuentra en equilibrio apoyada en una pared vertical y en un pequeño rodillo, y se desprecia el rozamiento, determinar el ángulo θ que define su posición de equilibrio, si:

La respuesta de este problema es θ = 60^o. Intentalo!

PROBLEMA
Si la barra mostrada de longitud L se encuentra en equilibrio apoyada en una superficie cilindrica de radio R y en una pared vertical, y se desprecia el rozamiento, determinar el ángulo θ que define su posición de equilibrio, si:

La respuesta de este problema es θ = sen^-1 (3^-1). Intentalo!

Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado: MRUV

Es aquel movimiento rectilíneo que se caracteriza porque su aceleración no cambia en el tiempo, o, lo que es equivalente, el módulo de su velocidad varía linealmente con el tiempo.

En este tipo de movimiento el módulo de la velocidad del móvil aumenta o disminuye uniformemente al transcurrir el tiempo, lo que equivale a decir que, en iguales intervalos de tiempo su velocidad aumenta o disminuye en una misma cantidad, o que, los cambios de velocidad son proporcionales al intervalo de tiempo transcurrido. Veamos un ejemplo (ver figura).

En este caso el móvil se mueve horizontalmente describiendo un MRUV en donde en cada segundo el módulo de su velocidad aumenta en 2 m/s. De esto se concluye que el módulo de su aceleración a es de 2 metros por segundo cuadrado (2 m/s²).

En este ejemplo vemos que el móvil se mueve cada vez más rápido y por tanto las distancias recorridas por el móvil en cada segundo serán diferentes.

Como el valor de la velocidad aumenta o disminuye de manera uniforme, el valor medio de la velocidad, en un cierto intervalo de tiempo, es igual al promedio de la velocidad inicial y final en dicho tramo, es decir la velocidad media será:

El el MRUV la distancia recorrida por el móvil en cierto intervalo de tiempo se determina multiplicando su velocidad media por el intervalo de tiempo transcurrido.

De esto se deduce que la distancia recorrida por el móvil en el 1er segundo (d₁ = 1 m) se obtiene multiplicando el valor de la velocidad media en este intervalo de tiempo (V_m = 1 m/s) por el tiempo de 1 s. Del mismo modo, la distancia recorrida en el 2do segundo (d₂ = 3 m) se obtiene multiplicando el valor de la velocidad media en este tramo (V_m = 3 m/s) por el tiempo de 1 s. Análogamente, la distancia recorrida en el 3er segundo (d₃ = 5 m) se obtiene multiplicando el valor de la velocidad media en este tramo (V_m = 5 m/s) por el tiempo de 1 s.

En general, si un móvil parte del reposo y se mueve con MRUV, las distancias recorridas en cada segundo aumenta en la forma que se indica en la figura:

Según esto, cuando un móvil parte desde el reposo las distancias recorridas en cada segundo son proporcionales a los números 1; 3; 5; 7 y así sucesivamente. Estos números se les conoce como números de galileo.

Cuando el móvil no parte del reposo, es decir cuando la velocidad inicial V_o es diferente de cero, las distancias recorridas en cada segundo aumenta en la forma que se indica en la figura:

Observe que en ambos casos las distancias recorridas por el móvil en cada segundo forman una serie aritmética de razón "a".

FÓRMULAS DEL MRUV
Existen cinco variables en este tipo de movimiento:

• V_o: velocidad inicial


• V_f: velocidad final


• a: aceleración


• t: tiempo


• d: distancia

También existen cinco fórmulas para este tipo de movimiento, de las cuales dos de ellas se consideran básicas (las dos primeras de la tabla). Las demás se deducen combinando las dos primeras y eliminando una variable.

En cada fórmula solo aparecen cuatro variables, es decir en cada una no interviene una variable. Así por ejemplo en la 1ra fórmula no interviene la distancia d. En la 2da no interviene la aceleración a. En la 3ra no interviene la velocidad final V_f. En la 4ta no interviene el tiempo t y en la 5ta no interviene la velocidad inicial V_o

Movimiento Rectilíneo Uniforme: MRU

Es aquel movimiento que se caracteriza porque su velocidad no cambia en el tiempo, esto es, su trayectoria es rectilínea y su rapidez permanece constante.

En este tipo de movimiento el móvil recorre distancias iguales en iguales intervalos de tiempo, lo que equivale a decir que, el desplazamiento experimentado por el móvil es proporcional al intervalo de tiempo transcurrido. Veamos un ejemplo (ver figura).

En este caso el móvil se mueve horizontalmente describiendo un MRU recorriendo una distancia de 3 metros en cada segundo de tiempo. De esto se concluye que la rapidez constante con que se mueve el móvil es de 3 metros por segundo, es decir el módulo de su velocidad V es de 3 m/s.

En este tipo de movimiento se cumple que la distancia recorrida es igual al producto de su rapidez por el tiempo transcurrido, es decir:

Fuerza de empuje en sistemas acelerados

Un niño, que se encuentra en el interior de un avión que se encuentra a punto de arrancar, sostiene con una cuerda un globo inflado con helio. Si de pronto el avión arranca y comienza a acelerar hacia la derecha, ¿hacia donde se inclinará la cuerda que sostiene el globo?

La mayoría de personas, producto de su experiencia conciente o inconsciente con el principio de inercia o primera ley de newton , contesta que la cuerda se inclinará hacia la izquierda o hacia atrás, pero ¡están equivocados!

El siguiente video muestra que sucede cuando se conduce un auto con un globo de helio dentro de él. Primero cuando acelera (se mueve hacia adelante), cuando frena (se mueve hacia atrás), cuando gira hacia la izquierda (se mueve hacia la izquierda) y cuando gira a la derecha (se mueve hacia la derecha).

La explicación física de esto es que la fuerza de empuje hidrostático que actúa sobre un cuerpo es la resultante de las fuerzas de presión que ejerce el fluido que lo rodea (líquido o gas) y siempre apunta en dirección opuesta al campo gravitatorio a la cual se encuentra sometido y es proporcional al valor de su intensidad (aceleración de la gravedad).

El valor de la fuerza de empuje E que actúa sobre un cuerpo parcial o totalmente sumergido en un fluido es directamente proporcional al valor de la aceleración de la gravedad g y tiene una dirección opuesta a esta.

¿Pero qué sucede cuando el avión acelera con una aceleración a? En este caso, sobre todos los cuerpos que se encuentran dentro de él actúa una fuerza de inercia, que tiene dirección opuesta a la aceleración del avión respecto de la Tierra. Esto hace que el aire genere un empuje adicional sobre todos los cuerpos que se encuentran "sumergidos" en él en la dirección opuesta a esta fuerza de inercia. Entonces sobre el globo de helio actúan dos fuerzas de empuje hidrostático: uno que va hacia arriba, apuesto a g de módulo E_y = ρ g V_s, y otro que va hacia adelante, en la dirección de a de módulo E_y = ρ a V_s. Debido a esto el globo tratará al mismo tiempo de elevarse e irse hacia adelante.

Dentro del avión, a la resultante de la aceleración de la gravedad g que genera la Tierra y la aceleración opuesta a la aceleración del avión respecto de la Tierra (-a) se denomina gravedad efectiva g_ef .

Para todos los efectos pareciera como si la gravedad que se experimenta dentro del avión que acelera uniformemente habría cambiado. La línea vertical que define como debería pararse una persona dentro del avión que acelera para no caerse también varía. Todo fenómeno que se produce dentro del avión se puede explicar en términos de esta gravedad efectiva.

El hecho de no reconocer que la fuerza de empuje hidrostático depende de la "gravedad local" origina a proponer problemas imposibles como estos.

La figura muestra un bloque flotando en agua, con medio volumen fuera del líquido, cuando el ascensor se encuentra en reposo. ¿Con qué aceleración debe subir el ascensor que contiene al líquido, para que el bloque se hunda completamente?

Cuando un cuerpo se encuentra en equilibrio parcialmente sumergido en un líquido, el porcentaje del volumen sumergido es igual a la relacion entre la densidad del cuerpo y la del líquido (no depende de la gravedad).

Dentro de un ascensor que desciende verticalmente con aceleración constante a se encuentra un recipiente con agua y sumergido completamente en él un bloque de madera (800 kg/m³). Determine cual debe ser el valor de a para que el bloque de madera no se mueva respecto del recipiente.

Si un cuerpo se encuentra en equilibrio sumergido completamente en un líquido, la densidad media del cuerpo es igual a la del líquido (no depende de la gravedad).

Un problema relacionado con estos, pero que si tiene solución, es el siguiente.

El ascensor mostrado en la figura, dentro del cual existe un recipiente que contiene agua, desciende verticalmente con una aceleración a. Determinar el módulo de a para que un bloque de madera (800 kg/m³), que se encuentra dentro del agua, no se mueva respecto de la Tierra. (g = 10 m/s²)

La respuesta de este problema es 2 m/s².

Documental: La carrera por el cero absoluto

Segunda parte del documental de la serie BBC acerca de como, durante el siglo XIX, se dio una carrera por acercarse cada vez más a la temperatura del cero absoluto.

Documental: Cero absoluto - La conquista del frio

Primera parte del documental de la serie BBC. En esta primera se hace un recuento histórico de la evolución del concepto del calor. Se muestra cómo los primeros científicos investigaban los gases en sus primitivos laboratorios en penosas condiciones, intentando comprenderlos y licuarlos.