Problemas reto de Física No 01

Les propongo un par de problemas de física elemental y los invito a proponer una solución a estos sin usar las herramientas del cálculo infinitesimal.

PROBLEMA 01
Una partícula se suelta desde el punto A y se mueve sobre la superficie cilíndrica cuyo centro de curvatura se encuentra en el punto O. Determinar la posición de la partícula, definida por el ángulo θ, en el cual la velocidad V de su proyección en la pared vertical tome su máximo valor posible. Despreciar rozamiento.

PROBLEMA 02
Un carrito de masa M, que puede moverse sobre una superficie horizontal completamente lisa, se encuentra conectado mediante una cuerda inextensible a una esferilla de masa m (M>m). Si inicialmente el carrito se encuentra en reposo y la esferilla que es lanzada horizontalmente con una rapidez inicial V_o se eleva una altura h respecto de la horizontal, determinar la máxima rapidez que alcanzará el carrito durante su movimiento y la rapidez de la esferilla cuando pasa por el punto mas alto de su trayectoria.

Una animación de este segundo problema se muestra a continuación:

Ver resolución del PROBLEMA 01
Ver resolución del PROBLEMA 02

Sistema de referencia

Según la física newtoniana el espacio y el tiempo son absolutos y son independientes entre si. De acuerdo con este punto de vista la posición de un objeto en el espacio queda definida por sus tres coordenadas espaciales.

Pero según la teoría de la relatividad de Einstein el espacio y el tiempo no son absolutos y están íntimamente ligados entre si. Actualmente se considera que el espacio-tiempo es una entidad geométrica en la cual se desarrollan todos los eventos físicos del Universo. Debido a esta nueva concepción actualmente se considera que la posición de objeto está definida por tres coordenadas espaciales y una temporal.

¿Qué es la posición?

La posición de un objeto es aquella información que permite localizarlo en el espacio, sin ambiguedad, en cualquier instante de tiempo. Observe la animación adjunta en donde se muestra el movimiento de una pieza de ajedrez (Reina). ¿Qué información debería tener para saber la posición que tenía la Reina en cada instante de tiempo que estuvo en movimiento?

Sistema de Referencia
En general, para estudiar el movimiento mecánico de un cuerpo, y determinar su posición en el espacio en cada instante de tiempo, es necesario recurrir a lo que se denomina sistema de referencia.

Un sistema de referencia está constituido por un punto de referencia (un punto del objeto de referencia), un sistema de coordenadas asociado a él y un instrumento de medición de tiempo (reloj).

A manera de ejemplo, consideremos que en un parque existe una pelota en movimiento, varios objetos y algunas personas y queremos determinar la posición de la pelota en cada instante de tiempo.

En este ejemplo elijamos un sistema de referencia e indiquemos sus elementos:

I) Cuerpo de referencia: Para determinar la posición de un cuerpo en el espacio es necesario referir dicha posición en relación con otro cuerpo denominado cuerpo de referencia.

Se denomina cuerpo de referencia a aquel cuerpo respecto del cual se define la posición de otro.

En este caso se elijamos la "fuente de agua" como cuerpo de referencia pero se entiende que puede ser cualquier otro cuerpo.

II) Punto de referencia: Es un punto del cuerpo de referencia elegido, a partir del cual se van a medir las variables relacionadas con la posición del cuerpo que deseamos estudiar; este punto se denomina también origen o cero del sistema de referencia.

En el caso que estamos estudiando hemos elegido un punto de la base de la fuente.

III) Un sistema de coordenadas: La información numérica que permite ubicar al cuerpo en el tiempo y en el espacio está contenida en lo que se llama el sistema de coordenadas. Está representada por un conjunto de números ordenados de manera conveniente, comúnmente de la forma (x; y; z; t), para facilitar el registro y comunicación de los datos. Para la descripción del movimiento de un cuerpo en el espacio se requieren 4 coordenadas, 3 para indicar su ubicación en el espacio y otra para indicar el instante de tiempo correspondiente a dicha ubicación.

Como en este caso el movimiento de la pelota es a lo largo de un línea recta, se requieren solo 2 coordenadas, una espacial y otra temporal. El valor numérico de la coordenada espacial nos informa de la posición de la pelota con respecto al cero de referencia, y el valor numérico de la coordenada temporal nos dice en que instante de tiempo pasa por dicha posición.

En la animación siguiente se ilustra el proceso completo para ubicar la pelota:

Cálculo del tiempo para escuchar el eco

Voy a resolver un problema relacionado con el eco generado cuando una onda sonora se refleja al encontrarse con un obstáculo.

Un tren bala de 112 m de largo se mueve en línea recta con una aceleración constante de 4 m/s². Si en el instante en que su rapidez es de 6 m/s y que su parte delantera se encuentra a 652 m de la boca de un tunel, de esta parte se emite un bocinazo, al cabo de qué tiempo una persona ubicada en la parte posterior del último vagón oirá el eco producido por las paredes laterales de la boca del tunel. (V_sonido = 340 m/s).

Cuando en la parte delantera del tren en movimiento se genera una perturbación, se generan ondas sonoras que se propagan en todas direcciones con una rapidez constante de 340 m/s, sin importar con qué velocidad se mueve el foco que originó la perturación (¡no se componen las velocidades!). Cuando las ondas sonoras que se propagan en dirección horizontal se reflejan en la pared que se encuentra delante del tren se produce el eco que se propaga en dirección contraria. En la figura inferior se muestra con color rojo las ondas sonoras que se propagan hacia la derecha y con color celeste las ondas del eco que se propaga hacia la izquierda.

En este problema hay que analizar el movimiento del sonido en la dirección horizontal (MRU) y el movimiento del tren (MRUV).

Sea t el tiempo transcurrido desde el instante que se genera el sonido hasta el instante que la persona ubicada en la parte posterior del último vagón escucha el eco.

La distancia recorrida por el sonido en este tiempo será 340t (d = V_sonido.t) y la distancia recorrida por el tren en este tiempo sera d = 6t + 2t² (d = V_o.t + 1/2 a.t²).

De la geometría del problema (ver figua superior) se deduce que la distancia recorrida por el sonido en dicho intervalo de tiempo es igual a la suma de la distancia D (distancia recorrida por el sonido en la ida) más D - d (distancia recorrida por el eco hasta que alcanza la parte delantera del tren) más la longitud del tren L.

Resolviendo esta ecuación se deduce que el tiempo que transcurre hasta que el pasajero escucha el eco es de 4 s.

Cabe señalar que el pasajero escuchará primero el sonido que proviene directamente del foco (después de 0,32 s de haberse generado).

¿Qué está pasando en el reactor nuclear Fukushima I en Japón?

El día viernes 11 de Marzo se produjo un terremoto de 8,9 grados en la escala de Richter cerca de la costa norteoriental de Japón, que es el más fuerte de la historia de Japón y el quinto más fuerte de todo el planeta, que a su vez provocó un tsunami con olas de hasta 10 metros que barrió con el litoral frente al epicentro.

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Este terremoto ha provocado, además de un drama humanitario, una grave crisis nuclear en el país nipón.

¿Que pasó en la central nuclear de Fukushima I?

La central de Fukushima I es un conjunto de 6 reactores nucleares del tipo BWR (Boiling Water Reactor o Reactor Agua en Ebullición). En esta central, como consecuencia del sismo, se pararon automáticamente las unidades 1, 2 y 3 que se encontraban operando (las unidades 4, 5 y 6 estaban paradas por mantenimiento). Después de que los reactores se apagaron, se detuvo la producción de electricidad.

Normalmente estos reactores usan la electricidad del tendido eléctrico externo para el sistema enfriamiento y para el cuarto de control, pero la red fue dañada por el terremoto. Los motores diésel de emergencia para la generación de electricidad comenzaron a funcionar normalmente, pero se detuvieron abruptamente con la llegada del tsunami que siguió al terremoto.

Pasado el desastre, se declaró un estado de emergencia en esta central nuclear, a causa de la falla de los sistemas de refrigeración de uno de los reactores.

El domingo 13 el reactor número tres de dicha central sufrió una explosión de hidrógeno. Debido a esto se empezó a inyectar agua de mar mezclada con ácido bórico para refrigerarlo. Ese mismo día se realizó una liberación controlada de gases con el fin de disminuir la presión en el reactor.

El martes 15 se produjo una nueva explosión en dicha central. El reactor afectado es el número 4 que en el momento del terremoto ya estaba parado.

El miercoles 16 se conoce que la situación en los seis reactores de la central nuclear es muy grave: se observan importantes destrozos en los reactores 3 y 4. El reactor número 4 ha registra un nuevo incendio. En los reactores 1 y 2 las barras de combustible nuclear también han quedado total o parcialmente dañadas. En el reactor 5, que está apagado, el nivel del agua continúa bajando.

El jueves 17 continúan las tareas para intentar refrigerar el núcleo del reactor. Los helicópteros del ejército sobrevuelan la central para echar agua de mar. También se envian camiones cisterna con agua destilada para rellenar las piscinas.

Las piscinas son el primer destino del combustible gastado (uranio empobrecido). Cuando el combustible nuclear gastado se extrae del reactor aún generan demasiado calor y radiación para poderlo trasladar a ninguna planta de gestión de residuos nucleares; primero debe pasar por estas piscinas para refrigerarse.

Debido al calor de la central del agua que llena las piscinas está evaporando. Es por ello que necesitan rellenarlas.

El último recurso ha sido instalar un cable eléctrico de 1km para poder hacer funcionar los generadores eléctricos que permitirían el refrigeramiento de los reactores.

El viernes 15 el gobierno del Japón elevó al nivel 5 la emergencia de la central nuclear de Fukushima de 7 niveles que tiene la Escala INES de accidentes nucleares.

El domigo 20 el gobierno japonés anunció que desmantelará la central nuclear de Fukushima I.

A continuación una simulación que explica como funciona una central nuclear cortesia de cortesia del Consejo de Seguridad Nuclear de España

Como funciona una central nuclear

La revolución tecnológica que se viene

El Premio Nobel de Física de 2010 fue otorgado a Andre Geim y Konstantin Novoselov por sus revolucionarios descubrimientos sobre el material bidimensional denominado grafeno.

El grafeno es una estructura laminar plana, de un átomo de grosor, compuesta por átomos de carbono densamente empaquetados en una red cristalina en forma de panal de abeja mediante enlaces covalentes.

El Grafeno es 200 veces más duro que el acero, es flexible, y altamente conductor, lo que le convierte en un material superior al oro y al silicio para determinadas aplicaciones.

Los investigadores llevan 25 años estudiando las extraordinarias propiedades de los fulerenos, los nanotubos de carbono y el grafeno. Sin embargo, su comercialización no es ni rápida ni sencilla.

En los cuentos de hadas, el tercer lugar a menudo es el mejor: el tesoro suele estar en el tercer cofre y el tercer hijo es el que consigue la fama y la fortuna. La historia se puede repetir para el grafeno, la tercera forma de “nuevo carbono” y la última en descubrirse. Hasta ahora, ha sido escaso el impacto en la industria de las dos primeras: los fulerenos1, con forma de balón de fútbol y descubiertos en 1985, y los nanotubos de cabono2, cilindros huecos caracterizados por primera vez en 1991. En cambio, parece que los buenos augurios rodean al grafeno, una lámina plana de carbono del grosor de un átomo. Un claro ejemplo es la rapidez con la que los revolucionarios experimentos sobre sus propiedades se hicieron merecedores del Premio Nobel de Física de 2010.

Leer mas:
grafeno.com
Observatorio Tecnológico
La física del grafeno

Examen Admisíón Universidad San Marcos 2011-II: Comentario

En medio de gran expectativa, 26 mil 751 postulantes compitieron por una de las 4,507 vacantes que la Universidad Nacional Mayor de San Marcos (UNMSM) ofreció en el proceso de admisión 2011-II, que se realizó en forma simultánea en Lima y Huaral, los días 12 y 13 de marzo.

El día sábado 12 se evaluó a los postulantes a las áreas académicas de Humanidades, Ciencias Sociales y Económico Empresariales y el día domingo 13 a los postulantes a las áreas de Ciencias de la Salud, Ingenierías y Ciencias Básicas (física y química pura).

Por obvias razones se espera que las preguntas del examen del día domingo sea más exigentes en los cursos de matemáticas y ciencias que las del día sábado, pero a veces no es así.

Por ejemplo, uno de los tres problemas propuestos en el curso de física en el examen del día sábado fue el siguiente:

En la ecuación:dimensionalmente homogenea, z es potencia, Q es rapidez y J el trabajo. Determinar la dimensión de x/y.

Este es un problema del capítulo de análisis dimensional y su resolución la espongo a continuación.

Determinemos la dimensión de la magnitud y teniendo en cuenta que el argumento de la función trigonométrica coseno debe ser 1.

Determinemos la dimensión de la magnitud x teniendo en cuenta que la dimensión de ambos miembros de la ecuación deben ser iguales (principio de homogeneidad dimensional) y que la dimensión de cualquier constante numérica (incluyendo las funciones trigonométricas) es 1.

Finalmente, de esto se deduce que:

Culminado el proceso de admisión, el comentario unánime ha sido que este problema ha tenido mayor grado de dificultad que cualquiera de los problemas del curso de física del examen del día domingo.

A raíz de esto me pregunto ¿Con qué criterio se seleccionan los problemas para evaluar a los postulantes de una determinada carrera universitaria? ¿Qué es lo mínimo que debe saber un alumno que postula a alguna de estas áreas? ¿Se ha estimado el tiempo que tardaría un alumno promedio que postula a alguna de estas áreas en resolver este problema?

Me encantaría saber lo que piensa al respecto el ilustrísimo rector de dicha universidad, Dr. Luis Fernando Izquierdo Vásquez, que dice "Una de las fortalezas de la Universidad San Marcos es el examen de admisión".

Velocidad angular de rotación de un triángulo

Hace unos días me propusieron un problema que he modificado para que resulte más interesante.

En los vértices de un triángulo equilatero de lado L se encuentran tres hormigas. Ellas empiezan a moverse simultáneamente con una rapidez constante v de modo tal que la 1ra en todo momento se mueve hacia la 2da, la 2da hacia la 3ra y la 3ra hacia la 1ra. Determinar el tiempo que tardan en encontrarse y la velocidad angular con que gira el triángulo equilátero formado por las hormigas en función del tiempo transcurrido t.

Es fácil darse cuenta que debido a la simetría del problema, y a las condiciones del problema, el movimiento de cada una de las hormigas respecto de cualquiera de las otras dos es equivalente.

Determinemos la velocidad relativa de la hormiga A respecto de B (V_AB). Geométricamente esto se obtiene graficando sus vectores velocidad a partir de un origen común y uniendo el extremo del vector sustraendo con el extremo del vector minuendo (ver figura).

A partir del triángulo vectorial achurado mostrado en la figura se deduce que el módulo de la velocidad relativa de A respecto de B es v√3.

Debido a que en todo momento las hormigas se encuentran en los vértices de un triángulo equilátero, sus velocidades en todo momento forman entre si un ángulo de 120^o. De esto se concluye que el módulo de su velocidad relativa permanece constante y siempre forma un ángulo de 30^o con la línea que une los centros de las hormigas.

Debido a esto el módulo de la velocidad de acercamiento de cada hormiga respecto de otra (v_r = v√3 cos 30^o= 3v / 2) y el de su velocidad transversal (v_θ = v√3 sen 30^o= v√3 / 2) permanecen constantes en todo momento.

De aqui se deduce que el tiempo que las hormigas se encuentran es:

La velocidad angular de rotación ω se determina relacionando el módulo de la velocidad en la dirección transversal v_θ con la distancia r que los separa transcurrido un tiempo t (L - V_r t).