Admisión UNI 2012-1: Aparece otro problema sin clave

Ha transcurrido ya una semana de haber culminado el proceso de admisión a la Universidad Nacional de Ingeniería y siguen apareciendo cuestionamientos a la calidad, idoneidad y pertinencia de las preguntas planteadas en última prueba (Física y Química), que es la que define el ingreso a la primera universidad de ingeniería de nuestro medio. Hace unas horas mi colega y amigo Walter Perez Terrel me comentó acerca de un problema de Química en donde la respuesta correcta NO aparece en las alternativas. Como comente en un post anterior, con este ya van dos problemas de Química que tienen esta "falla de origen" y uno de Física (ver post) que generó todo un debate en diferentes foros físicos y virtuales.

El problema de Química, del tema de Gases, es el siguiente:

PROBLEMA
Un recipiente de 10 L contiene una mezcla equimolar de gas nitrógeno (N₂) y helio (He) a una presión de 15 atm. ¿Cuántos globos se pueden llenar con esta mezcla de gases a 1 atm de presión, si cada globo es de 1 L? Considere que la temperatura en ambos sistemas es la misma.
A) 10 B) 15 C) 75 D) 125 E) 150

Las versiones de estas academias respecto de este problema es unánime: La respuesta es 150, pero desde el punto de vista físico, la respuesta es 140.

A continuación les muestro las versiones de las academias Pamer y Pitágoras respecto de este problema:

Lo que al parecer ninguno de los que han resuelto el problema (en realidad me cuesta cree esto), ha considerado que en el volumen final del gas debe estar considerado el volumen del recipiente que es de 10 L.

Mi razonamiento se parece al de la academia Pitágoras y Trilce. Como el número de moles del gas y la temperatura es constante se cumple que:

Esto físicamente quiere decir es que si el gas se expandiera hasta que su presión sea igual a la presión atmosférica, su volumen se haría 15 veces mayor, es decir su volumen aumentaría en 140 L y este volumen equivale a 140 globos de 1 L a la presión de 1 atm.

Por lo menos, así es la manera como los físicos resolvemos este problema.

A todo esto ¿qué dicen los químicos?

El profesor de Química Nicolás Ordoñez, docente preuniversitario del curso de Química reconocido por su amplia experiencia y trayectoria académica, avala este punto de vista y ha publicado en el grupo de profesores preuniversitarios del facebook lo siguiente:

El proceso de llenado de globos continuará hasta que la presión en el tanque sea igual al de los globos. Quisiera dar un ejemplo practico. Cuando en sus casas dicen que 'se acabó el gas' realmente no se terminó, sigue existiendo gas en el balón de gas. Por esta razon debemos tener cuidado de acercar fuego al tanque pues puede explotar.

Luego Nicolás Ordoñez agrega:

EL ERROR ERA GENERACIONAL PERO NO PERSONAL; en todas mis clases enseñe el modo correcto, pues bien les transmito una clase virtual al respecto para que las generaciones que sigan no transmitan el error, esto es una muestra hay mas errores generacionales.

ANALISIS DEL PROBLEMA 35 DE QUÍMICA

Admisión UNI 2012-1: Mas discrepancias en el examen de ciencias

Comenté en un post anterior que hubo un problema de Física del examen de admisión UNI 2012-1 que generó toda una polémica en las redes sociales. En esta oportunidad les comentó otras preguntas que también dieron que hablar por diferentes razones.

Hubo una pregunta de Química en donde no ha habido consenso al momento de dar la clave, ya para las academias Pamer y Saco Oliveros la respuesta es 48,34 y para Trilce y Pitagoras la respuesta es 96,68, o sea el doble.

PROBLEMA
Se electriza una disolución acuosa que contiene K₂SO₄ al 10% en masa, empleando una corriente de 8 amperios y durante 6 horas. Calcule la cantidad de agua descompuesta, en gramos.
Masa atómica: H = 1; O = 16
Constante de Faraday = 96 500 coulomb
A) 48,34 B) 96,68 C) 99,34 D) 108,42 E) 124,34

Las versiones de estas academias respecto de este problema son:

Observe que para las academias Pamer y Pitágoras no hay clave, pero fuerzan la respuesta, y la academia Trilce acaba diciendo "la respuesta sería".

El profesor de Química Nicolas Ordoñez, muy conocido en el ambiente académico preuniversitario, me ha autorizado que publique su comentario de la resolución del problema de electroquímica hecha por la academia Pamer.

El primer paso es correcto (homogeniza unidades). Convierte el tiempo a segundos para utilizar amperios.

El segundo paso no esta correctamente expresado pues indica que el equivalente químico del agua es 9 eq-r cuando en realidad el equivalente químico es de 9 g; en el denominador escribe mol, es decir los encargados dicen que existen 9 eq-g por mol de que (¿?). Según la ley de faraday el equivalente gramo o equivalente químico es la masa en que ha reaccionado en los electrodos cuando ha circulado UN MOL DE ELECTRONES!. Si hubieran puesto en el denominador FARADAY seria correcto.

En el tercer paso, la referencia de que no se debe utilizar el porcentaje de pureza de solución es correcta porque el soluto de esa solución esta formado por un anión de un ácido fuerte y un catión de base fuerte lo que origina que sea el agua la sustancia que sufrirá electrolisis. La fórmula que utiliza al final NO ES DIMENSIONALMENTE CORRECTA (reemplacen las unidades de los datos y verán que no se cumple) sin embargo su resultado final es correcto. Compruebo que el encargado de la solución debe estudiar con mayor profundidad ELECTROQUÍMICA Sacar la respuesta así es característica de los "formuleros" que solo buscan el truco para hallar la respuesta.

Respecto de su conclusión final de asignar la alternativa diciendo que esta cerca o aproximado como puede ser 96,68 g estar cerca de 16,11 g. EL ERROR NO PUEDE SER MAYOR QUE LA CANTIDAD MEDIDA. Esta pregunta NO TIENE RESPUESTA y debe ser anulada o quitarles puntos a quienes contestaron y darle todo el puntaje a los que no contestaron QUE ES LO CORRECTO, son muchos puntos puede alterar ingresos en la cola.

Saquen sus propias conclusiones . . .

Otra pregunta de química que ha dado que hablar porque aparentemente escapa del ámbito de un concurso de admisión UNI (no se enseña), es la siguiente.

PROBLEMA
El ion sulfato SO^2-₄, es una especie muy estable. ¿Qué puede afirmarse correctamente acerca de esta especie química?
Números atómicos: O = 8; S = 16
I. Es estable debido al gran número de formas resonantes que posee.
II. Tiene geometría tetraédrica
III. El azufre ha expandido su capa de valencia
Son correctas
A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) II y III E) I, II y III

Las resoluciones de estas academias respecto de este problema son:

Según comentarios que he escuchado, esto no se enseña a nivel peuniversitario.

Finalmente hubo una pregunta teórica de Física respecto del cual todas las academias dieron como respuesta VVV, pero la academia Saco Oliveros discrepó con las demás respecto del valor de verdad del primer enunciado.

PROBLEMA
Establezca la veracidad o falsedad de los siguientes enunciados:
I. Para una partícula, la energía mecánica total es constante si las fuerzas que actúan sobre ella son todas conservativas.
II. En todo choque entre dos partículas, elástico o inelástico, se conserva la cantidad de movimiento lineal total
III. Si la fuerza neta sobre una partícula es nula se conserva su cantidad de movimiento lineal
A) VFF B) VVF C) VFV D) FFV E) VVV

La versión de esta academia respecto de este problema es:

Y desde mi punto de vista tiene razón ya que la fuerza es el resultado de la interacción entre dos cuerpos y a toda fuerza conservativa se le asocia una función de estado denominada energía potencial que es aplicable al sistema físico que generan esa interacción.

Así por ejemplo, en el sistema Tierra-Luna, si consideramos que la Luna es una partícula, y sobre ella solo actúa la fuerza de atracción gravitacional, que es una fuerza conservativa, la energía mecánica total de la Luna no se conservará, sino la energía mecánica total del sistema Tierra-Luna.

Purismo dirán algunos, pero circunstancias como estas se hubiesen podido evitar si se hubiesen redactado las preguntas con mayor cuidado.

Admisión UNI 2012-1: Pregunta polémica . . . mis comentarios

Estos son mis comentarios respecto de la pregunta de Física, del tipo verdadero/falso, que vino en el último examen de la UNI y generó toda una polémica en varios foros en internet como comentamos en un post anterior.

El fotón viaja a la velocidad de la luz en cualquier medio

Esta afirmación fue tomada como falsa por TRILCE y verdadera por PAMER y SACO. TRILCE argumenta que la tomó como falsa considerando la frase "velocidad de la luz" como la constante universal velocidad de la luz en el vacío, simbolizado con la letra c, y según esto, efectivamente, la luz, y los fotones que transporta, se propaga a una velocidad menor que c en otro medio que no sea el vacío.

Yo hubiese marcado esta sentencia como verdadera, considerándola como una pregunta capciosa y sin hacer la consideración que TRILCE hizo, argumentando que la física moderna considera el fotón como la partícula elemental portadora de todas las formas de radiación electromagnética y que se propaga junto con la luz, es decir el fotón viaja a la velocidad de la luz.

Un móvil viaja a la velocidad de la partícula que este representa. ¿Verdadero o Falso?

Según la UNI la sentencia el fotón viaja a la velocidad de la luz en cualquier medio es FALSA

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El fotón posee una masa muy pequeña comparable con la del electrón

Esta afirmación fue tomada como falsa por las tres instituciones antes mencionadas.

Los fotones son consideradas partículas sin masa ni carga eléctrica, denominadas comúnmente partículas relativistas (con velocidades cercanas a la de la luz), que presentan tanto propiedades corpusculares como ondulatorias (dualidad onda-corpúsculo). Existen otras partículas relativistas con propiedades diferentes a las del fotón, como por ejemplo, los neutrinos, que no son visibles al ojo humano.

Pero el hecho comprobado de que los cuerpos celestes curvan la trayectoria de un rayo de luz al pasar cerca de él avala la idea muy arraigada de que el fotón realmente tiene masa.

Los fotones no tienen masa pero si tienen un momentum lineal. Suena raro ¿no?

Esto es debido a que esta es una partícula especial que no posee masa (masa invariante igual a cero) pero se puede determinar una "masa relativista aparente", o simplemente masa relativista, debido a que posee energía, que según Planck es E = h.f y de acuerdo de la teoría relatividad especial es E = m.c². Según esto:

A partir de esto se deduce que para que la masa relativista de un fotón sea la de un electrón (9,11 x 10^-31 kg) su longitud de onda λ debe ser de 2,4 pm (picómetros) y cae dentro de la región de los rayos gamma.

A partir de esto es fácil concluir, que la absorsión o emisón de un fotón por un sistema le cambia realmente su masa (ver contribución a la masa de un sistema)

Esta ha sido la principal discrepancia entre los postulantes y docentes que han analizado esta pregunta: ¿El fotón tiene o no tiene masa?

Desde mi punto de vista esta afirmación es FALSA porque la masa relativista de un fotón puede ser mayor o menor que la de un electrón. Pero lo mas probable es que la pregunta se refiere a la masa real (masa invariante). He alli la ambigüedad de la sentencia.

Según la UNI la sentencia el fotón posee una masa muy pequeña comparable con la del electrón es FALSA

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El fotón no tiene masa pero transporta energía

A esta afirmación fue tomada como verdadera por TRILCE y SACO y falsa por PAMER.

Es obvio que el fotón como partícula portadora de todas las formas de radiación electromagnética transporta energía, pero ¿tiene o no tiene masa? ¿Masa real (masa invariante) o masa relativista? Caemos una vez mas en la misma ambigüedad.

Desde mi punto de vista, y sospechando que en la sentencia anterior y en esta se refieren a la masa real del fotón tomaría esta como verdadera.

Según la UNI la sentencia el fotón no tiene masa pero transporta energía es VERDADERA

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A causa de su naturaleza dual como partículas y ondas, por lo general los fotones se representan didácticamente como líneas onduladas, aunque esta representación resulta burda para los puristas.

Enlaces relacionados:

Concepto Físico y Químico de materia: La posición de la UNI
Problema UNI 2009-II origina discrepancias
Esa maravillosa partícula llamada fotón
Relatividad sin fórmulas - aumento de masa
Masa relativista
Cuántica sin fórmulas – La hipótesis de Planck

Admisión UNI 2012-1: Pregunta polémica

En la última prueba del día de ayer (Física y Química) hubo una pregunta de Física que generó toda una polémica en varios foros en internet.

PROBLEMA
En relación a las propiedades del foton, se tienen las siguientes proposiciones:
I. Viaja a la velocidad de la luz en cualquier medio.
II. Posee una masa muy pequeña comparable con la del electrón
III. No tiene masa pero transporta energia
Son correctas
A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y III E) I y II

Esta pregunta ha sido tan polémica que tres academias diferentes (Pamer, Trilce y Saco Oliveros) sacaron una respuesta diferente a esta pregunta (la Pitagóras no ha colgado su versión en la web).

Las versiones de estas academias respecto de este problema son:

Respuestas tan disímiles merece un análisis y un comentario de mi parte ¿no?, pero antes de hacerlo creo que es ilustrativo ver los comentarios de los participantes. Observen el comentario de Admisión Uni, que representa la versión oficial de la UNI.

• Enrique Alata creo q es VFV
  
• Orlando Ramirez Otra version . . . uhmm. No creo ya alguien haya sacado 20 en fiisca
  
• Enrique Alata pero si hay tantas dudas la UNI sale a aclarar creo no?
  
• Admision Uni La clave a esa pregunta es ---Solo la tres----
  
• Leonardo Vega Centeno Farfan la primera no era falsa?
  
• Francisco Olsen Candiotti Si por eso solo la III es verdadera
  
• Leonardo Vega Centeno Farfan claro solo 3 era
  
• Marco Gutierrez Vargas·Solo la III Fuente Vallejo
  
• Alvaro Chillcce Bendezu si asi es leo era solo 3 =)
  
• Leonardo Vega Centeno Farfan por fin! hice una X
  
• Erico Freddy Palacios Loayza las tres son falsas FFF no hay respuesta
  
• Escate Niño de Guzman yo creoq es fvv
  
• Escate Niño de Guzman hagame caso soy mecatronico
  
• Francisco Olsen Candiotti Escate Niño de Guzman la II y la III son opuestas como van a ser verdaderas las dos!
  
• Escate Niño de Guzman no creo a dice posee una masa muy peke;a
  
• Orlando Ramirez Este problema se presta para desmenuzarlo y analizar sus partes . . . Ya en años anteriores se han suscitado dituaciones como esta
  
• Erico Freddy Palacios Loayza la II y la III no necesariamnete son opuestas, sigo en FFF
  
• Francisco Olsen Candiotti Una dice posee masa muy pequeña, o sea, sí posee masa y la otra dice no posee masa
  
• Escate Niño de Guzman aya entonce es fvf
  
• Escate Niño de Guzman tiens razon
  
• Admision Uni no entiendo despues de darles las respuesta oficial directamente de la fuente aun siguen preguntando cual es la respuesta???
  
• Alvaro Chillcce Bendezu sii es solo tres tiene ke ser esa......... por ke sino la luz tendria peso y eso no es correcto .........
  
• Francisco Olsen Candiotti Sí, la UNI ya se pronunció además
  
• Brian Avila Pacaya FOTON= PAQUETE DISCRETO DE ENERGIA, por ende no posee masa!!! cual es el problema!
  
• Escate Niño de Guzman si tienen masa mira yo experimento y mido su masa todos los dias en la uni
  
• Orlando Ramirez No quiero ser aguafiestas pero la fuente puede equivocarse . . . Esta bueno el debate
  
• Francisco Olsen Candiotti Que alguien cite un texto reconocido de física, si es que creen que la fuente ha errado
  
• Escate Niño de Guzman sears zemansky fisica para universitarios
  
• Alvaro Chillcce Bendezu oe pero a nivel cepre toda esas vainas aveces no nos enseñan pe oe..........
  
• Enrique Alata SI ENSEÑAN !
  
• Jesus En' B solo III
  
• Diego Vergaray D'Arrigo teoria cepre ¬¬ , aparte ya fuee , lo hecho hecho sta xD jajajaja
  
• Orlando Ramirez El efecto Compton se explica considerando la naturaleza corpuscular de la radiación y las relaciones de la mecánica relativista, esto es, asi como una particula al moverse tiene una onda asociada (ondas de materia) un foton, que solo existe cuando se esta propagando, posee un masa que es igual a h/lamda.c
  
• Víctor Luis Yáñez FFV...
  
• Orlando Ramirez Un foton tiene masa
  
• Erico Freddy Palacios Loayza Señores la fuente suele equivocarse, eso se ha visto en examenes pasados y luego en su solucionario oficial modificarlo, sino que admision me desmienta.
  
• Alvaro Chillcce Bendezu asi es si tambien tiene razon eso si a pasado =)
  
• Orlando Ramirez
  Ahora una tercera version:
  Segun Pamer: VFF
  Segun Trilce: FFV
  Segun Saco Oliveros: VFV
  
• Elthoon Velasquez Calle ffv
  
• Alvaro Chillcce Bendezu ¬¬ asi es ffv
  
• Elthoon Velasquez Calle cuando un foton es´ta en un medio diferente al vacío viaja mas lento
  

• Libros Pre Timoteo Valentín CUAL ES ORLANDO!!!!!!!!!!!!!!!
  
• Gerson Josehp Valle Urcos stoy seguro q es FFV
  
• JuanCarlos Carrasco Martinez FFV
  
• Johan Quispe Navarrete TODAS SON FALSAS!
  
• JuanCarlos Carrasco Martinez pamer ta mal xd
  
• César Giglio Solo 3...
  
• César Giglio Al ojo :B
  
• Johan Quispe Navarrete pamer TA CAGAO ! pero aun asi sacara computo xD
  
• César Giglio Ahora Johan no me vengas con masas relativistas porque solo son modelos matemáticos xd!
  
• Giancarlo Ricse Gutarra jajja na bro ah sale I-II ah jajj ala xampa ps!
  
• Orlando Ramirez
  Ahora una tercera version:
  Segun Pamer: VFF
  Segun Trilce: FFV
  Segun Saco Oliveros: VFV
  
• Emilio Grandy
  I. Nada viaja a la velocidad de la luz, es un límite. Para eso, tendría q tener masa infinita.
  II. Su masa es pequeña, pero comparable a la del NEUTRON, no a la del electron
  III. Tiene masa calculada
  por tanto, todas son falsas (igual que en la vida) xD
  
• Alexander Reyes Flores FFV!
  
• Emilio Grandy como no va a tener masa?
  
• Alexander Reyes Flores No tiene masa solo transporta energia
  
• Alexander Reyes Flores eso es un FOTON!
  
• Raul Castillo Rojas preguntelenle a CLOVIS d la cepre xD!
  
• Oscar Gómez Cagona la pregunta jajajaja T_T , menos mal ingrese x cepre xD
  
• Emilio Grandy
  El fotón solo transporta energia (modelo de planck)
  No estoy serguro si viaja a la misma velocidad en cualquier medio (la luz no lo hace), pero de hecho las II y III son falsas.
  
• Oscar Gómez nonono los fotones no se transportan en la misma velocidad
  
• Oscar Gómez ddepend del medio
  
• Oscar Gómez oe pero segun quimica , la luz , oem , etc no tienen maasa xq no son materia ???
  
• Emilio Grandy segun quimica, un electron, al pasar de un nivel a otro, emite o absorbe fotones, que son paquetes de energía, no tiene masa xq no son materia. Pero seria muy achorado meter dualidad onda-particula xD
  
• Oscar Gómez por eso pe
  
• Oscar Gómez no creo q le metan esa webada por eso yo hubiera marcado q no tiene masa
  
• Emilio Grandy claro, sería lo más logico. En todo caso, imaginen tratar de pesar la luz xD
  
• Oscar Gómez ffv
  
• Raul Castillo Rojas hago q refleje n un espejo y justo choque l rayo reflejado n una balanza ps :P
  
• Jesus Amoretti Vidal FFV
  
• Oscar Gómez buena profe , poniendo orden aqui xD
  
• Diego Cuya FFV
  
• Jose Antonio Llancari Gomez fvf
  
• Jane Carrasco Quintana FVF
  
• Pablo Palacios Uhm...masa en reposo nula =)
  
• Pedro Palacios Avila fucking purist!
  

Mi punto de vista respecto de esta pregunta en este enlace

Problema de geometría

Hace unos días circuló por un grupo en internet una versión que el siguiente problema de geometría aparentemente estaba mal propuesto y que no podía ser resuelto.

PROBLEMA
En el gráfico, TL // PA. Si T es punto de tangencia, calcule x.

Resolución

Primeramente permítanme recordar algunos teoremas respecto de los ángulos en una circunferencia.

1) La medida del ángulo inscrito DCE es igual a la del ángulo semiinscrito DEF (ver Fig 1). De esto se concluye que la mdedida de todos los ángulos inscritos en la circunferencia que pasan por los puntos D y E son iguales (ver Fig 2). La siguiente animación muestra el arco capaz de un ángulo de 90^o (en este caso el segmento que subtiende al ángulo es un diámetro).

2) De lo anterior se concluye que si tenemos un cuadrilátero en donde se cumple que los ángulos formados por cada una de sus diagonales y dos de sus lados opuestos, y son opuestos a un tercer lado, tienen igual medida, dicho cuadrilátero es inscriptible o cíclico.

Ya en el problema en mención, trazamos el segmento BT. Por ángulos correspondientes entre rectas paralelas se concluye que las medidas de los ángulos APQ y LTQ son iguales.

Por otro lado, de la observación 1 mencionada anteriormente se concluye que las medida de los ángulos LTQ y LBT también son iguales.

De la observación 2 mencionada anteriormente se concluye que el cuadrilátero BCTP es inscriptible y por tanto la medida de su ángulo interior CTP es de 110^o, suplementario a 70^o.

Finalmente, como la suma de las medidas de los ángulos que se encuentran a un lado de una misma recta es 180^o, se concluye que x es 50^o.

Movimiento parabólico sobre una montaña congelada

Mi colega de curso, el Prof Oswaldo Farro, ha traducido un problema propuesto en la fase local de las olimpiadas rusas de física, que me parece interesante y comparto con ustedes.

El problema es el siguiente:

PROBLEMA
Una montaña congelada con dos pendientes forman un ángulo γ con respecto a la horizontal. Cada pendiente tiene la forma de un rectángulo de lados a y 2a. Un jugador de jockey ubicado en el punto A quiere lanzar un disco al arco que se encuentra en el punto B de tal forma que el disco no se despegue del hielo durante su movimiento. ¿Con qué velocidad y qué ángulo respecto del lado AO el jugador debe lanzar el disco para conseguir su objetivo? Considerar que la cima de la montaña está ligeramente redondeada y las dimensiones del disco y la fricción se desprecian.

Resolución

Antes que nada diremos que todo cuerpo que se mueve sobre un plano inclinado libre de rozamiento lo hace con una aceleración constante g' que es una componente de la aceleración de la gravedad (ver figura I).

Por otro lado, cuando se lanza un cuerpo en forma tangencial a una superficie cilíndrica completamente lisa, siempre hay la posibilidad que este se despegue de ella. Esta circunstancia depende de la velocidad con que es lanzada y de la curvatura de dicha superficie. La figura II muestra que si el valor de la velocidad de lanzamiento V_θ es muy pequeña (caso 1), este no logra cruzar el domo de la superficie cilindrica (resbala, se detiene y luego regresa); en cambio, si este valor es muy grande, este se despega de la superficie en el instante del lanzamiento (caso 3).

Determinemos el mínimo valor que debe tener la velocidad V_θ para que el cuerpo se despegue de la superficie en el instante del lanzamiento. Este valor será mínimo cuando el radio de curvatura de la trayectoria en el instante del lanzamiento es R y la aceleración centrípeta es g' cos γ (ver figura III).

Con una velocidad mayor, el cuerpo se despegará de la superficie en el instante del lanzamiento.

De esto se deduce que si el radio de la superficie cilíndrica es pequeño, la velocidad de lanzamiento V_θ que cumple con la condición de que el cuerpo no se despegue de la superficie es practicamente cero.

Según esto, para que el disco no se despegue de la montaña de hielo en ningún momento, cuando este llegue a la cima de la montaña su velocidad en la dirección de la aceleración de g' debe ser practicamente nula, y por tanto, el movimiento de subida y de bajada por la montaña serán semiparábolas idénticas, como se muestra en la figura IV.

De las ecuaciones del movimiento parabólico:

se deduce que:

Observe que este ángulo no depende de la aceleración de la gravedad.

Reemplazando en la relación (1) y teniendo presente que la aceleración de la gravedad g en este caso es g sen γ, se deduce que:

Equilibrio de un sistema casquete - barra

Hace unos días mi amigo y colega Max Soto Romero de la Academia Trilce me planteó un problema de equilibrio, que a primera vista me pareció "extraño" o inusual.

El problema era el siguiente:

PROBLEMA
Un sistema está formado por un cascarón semiesférico de radio R y una barra de longitud L que se encuentra parcialmente dentro de él. Si la masa del cascarón es M y la de la barra es m, y el sistema se encuentra en equilibrio en la posición indicada, encontrándose la barra dispuesta en forma horizontal, determinar el ángulo θ que forma la barra con el radio del cascarón que pasa por el punto de contacto entre estos. Considere que la barra es uniforme y homogénea y que no existe rozamiento.

Resolución

Para resolver este problema, primero analicemos el estado de equilibrio de la barra uniforme y homogénea.

Antes de construir el DCL de la barra, que es el primer paso para resolver un problema de equilibrio, señalemos que la fuerza de reacción normal F_n debido al contacto entre dos cuerpos siempre es perpendicular a la superficie de apoyo.

Como la barra interactúa con tres cuerpos (dos interacciones por contacto y una a distancia), sobre esta actúan tres fuerzas: dos fuerzas de reacción normal y una fuerza de gravedad (peso). La figura adjunta muestra el DCL de la barra:

El segundo paso para resolver un problema de equilibrio es aplicar las condiciones de equilibrio. De la 1ra condición de equilibrio se deduce que si sobre un cuerpo en equilibrio solo actúan tres fuerzas, estas, al ser graficadas uno a continuación del otro, deben formar un triángulo cerrado.

Como la resultante de las fuerzas verticales F_g y F_n es vertical, para que se cumpla la 1ra condición de equilibrio, la tercera fuerza F^'_n también debería ser vertical. De esto se concluye que la fuerza de reacción normal entre la barra y la superficie interior del casquete debe ser nula (F^'_n=0) y por tanto F_g = F_n.

Por otro lado, de la 2da condición de equilibrio se deduce que, si sobre un cuerpo en equilibrio solo actúan dos fuerzas (F_g y F_n) estas deben ser colineales. Por tanto, como F_g actúa en el punto medio de la barra, el punto de apoyo de la barra se encuentra también en su punto medio.

Antes de analizar el estado de equilibrio del sistema como conjunto, debo señalar que el centro de gravedad del cascarón semiesférico se encuentra en el punto G ubicado sobre su eje de simetría a una distancia R/2 de su centro de curvatura, es decir Y_G = R/2 (esto se demuestra por métodos de integración que escapan a los alcances de este blog, aunque estoy tratando de demostrarlo por métodos "mas elementales").

A continuación se muestra el DCL del sistema casquete-barra (no se grafican las fuerzas internas de contacto entre las partes del sistema).

Como el sistema casquete-barra interactúa con tres cuerpos exteriores (una interacción por contacto y dos a distancia), sobre este actúan tres fuerzas verticales: una fuerza de reacción normal F_n y dos fuerzas de gravedad (pesos de las partes).

Aplicando la 2da condición de equilibrio al sistema, respecto del punto de apoyo P:

De esto se deduce, por consideraciones estrictamente geométricas, que existe una relación definida entre la longitud L de la barra y el radio R del casquete para que se cumpla la condición del problema.

Como comentario final mencionaré que este problema sale de los cánones normales y ha dado que hablar al mundillo preuniversitario.

Felicitaciones por hacer algo diferente Max . . . and go on.