Mínima distancia de separación

Hace unos días un alumno me consultó un problema del libro de la editorial Lumbreras (Física Vol 1), que me dejó reflexionando... Al final llegué a la conclusión que estaba mal propuesto (faltaban datos o el gráfico estaba mal hecho).

En base a ese problema, les planteo este que tiene la mismo filosofía que el problema en mención.

PROBLEMA
Si el sistema mostrado se deja en libertad de movimiento de la posición mostrada, y no existe rozamiento, determinar la mínima distancia de separación entre las esferillas A y B. Las masas de A y B son m y m.e^θ, siendo e el número de euler y θ un ángulo en radianes, y considerar que la cuerda que las une es inextensible.

Resolución

La respuesta del problema es:

Stephen Hawking la pelicula: BBC 2004

Esta película es basada en la historia de los primeros años de Stephen Hawking en el que este joven científico que se abre paso a través de las corrientes de pensamientos vigentes en su época donde Fred Hoyle era el pregonero de una idea muy implantada en la comunidad científica, la teoría del estado estacionario en donde el Universo carente de comportamiento dinámico es inalterable. Además en esta pelicula queda muy claro el tesón de Stephen al enfrentar su enfermedad y lograr alcanzar el desarrollo de un modelo teórico de tal belleza que hacia de la Relatividad de Albert Einstein el mejor de los panoramas para poder decir que el Cosmos tuvo un origen y que su comportamiento es sumamente dinámico.

SINOPSIS:

Al inicio de la película se muestra a Arno Penzias y Robert Wilson preparando para una entrevista de televisión a una hora antes de recibir el premio Nobel. Durante la entrevista se muestra de cómo con un silbido extraño que descubrieron en el interior de un enorme receptor de satélite ellos ganaron su premio.

A continuación, la historia conrinua con el cumpleaños número 21 de Stephen Hawking, que no está de fiesta sinó sentado en su sala, viendo como Sir Fred Hoyle habla sobre su teoría del estado estacionario. Cuando este programa termina, Stephen entra a su fiesta y se complace de ver a Jane Wilde, una chica que conoció en otra fiesta, de pie en la habitación. Luego, Stephen y Jane salen al jardín trasero donde se hechan sobre la hierba y hablan acerca del cielo. Cuando Stephen intenta levantarse, no puede, lo que hace que Jane se preocupara y corra en buscar ayuda.

Lo llevan al hospital en donde a Stephen le hacen una serie de pruebas. Al día siguiente en el hospital una enfermera mueve la almohada Stephen que le hace inclinarse hacia delante. Durante este proceso Stephen nota un muchacho joven en la cama frente a él, y la enfermera le dice que el niño tiene sólo 12 años y que sufre de leucemia. Al día siguiente Stephen despierta en el hospital y se da cuenta que la cama del niño se limpia y se rehace. Le dicen que el niño murió en la noche anterior. Stephen continuación, habla con el médico que le dice que tiene una rara enfermedad neurodegenerativa, que le hace preocuparse.

Luego la escena corta a los padres de Stephen hablando. Su padre comienza a contar historias de la infancia de Stephen cuando su madre dice que nunca ha sido un hombre sentimental y que él no debe comenzar a serlo. El Padre de Stephen le dice a su madre que cuando uno mas joven desarrolla la enfermedad, más rápido es el deterioro.

Después de un largo intento de refutar la teoría del estado estacionario de Fred Hoyle, Hawking finalmente lo acepta.

Esta película esta basada en hechos reales, aunque algunas excenas o dialogos no lo sean, y la recomiendo a todos aquellos interesados en saber un poco mas de la vida de Stephen Hawking.

Cuerpo que ingresa a un campo gravitatorio homogéneo

Hace unos días se me ocurrió un problema, que sale del esquema habitual de problemas, que debido a problemas de tiempo no pude compartirlos con ustedes. En el problema concebido originalmente el cuerpo tiene la forma de un triángulo, pero lo he modificado a la forma de un cubo para no complicar la parte matemática de su resolución.

El problema es el siguiente:

PROBLEMA
Un bloque uniforme y homogéneo de masa m y lado L, que se mueve por inercia libremente en el espacio con una rapidez v_o, ingresa en una región donde existe un campo gravitatorio tambien homogéneo de intensidad g. Determinar la rapidez con que el cuerpo sale de dicho campo.

Resolución

La respuesta del problema es:

Animación de electromagnetismo

En la siguiente animación se establecen los fundamentos del electromagnetismo y de los motores y generadores eléctricos. Hacer clic sobre la imagen.

Problema polémico en el examen a la U del Callao

El día de ayer Domingo 30 de Diciembre se realizó el proceso de admisión a la Universidad Nacional del Callao 2012-2 y hubo un problema de Álgebra que generó alguna controversia (hasta ahora no entiendo porqué). El problema es el siguiente:

PROBLEMA
La figura es un esbozo del gráfico de la función y = p(x) = (x - a)(x - b)(x² - 2x + c). Considerando que i = √-1, una de las raíces complejas de p(x) es.

Resolución

Como la gráfica de la función intersepta al eje x en los puntos x = -2 y x = -1 (raíces reales) se cumple que p(-2) = p(-1) = 0. A partir de esto se deduce que a = -2 y b = -1 (o al revés).

Por otro lado, como la gráfica de la ecuación intersepta al eje y en el punto y = 10 se cumple que p(0) = 10. A partir de esto podemos plantear la siguiente ecuación:

De esta ecuación concluimos que c = 5 y por tanto la expresión matemática de la función es:

De estos resultados concluimos que esta ecuación tendrá dos raíces reales y dos complejas. Para determinar las soluciones complejas tenemos que resolver la ecuación de segundo grado usando la fórmula cuadrática.

De donde se deduce que la respuesta del problema es D.

Problema de temperatura de equilibrio térmico

Nuestro amigo y colega Oswaldo Farro, ha publicado en su muro del facebook un problema de entrenamiento para olimpiadas del equipo de la region de Novosibirsk en Rusia, que comparto con uds.

PROBLEMA
Un contenedor de agua tiene la forma de un prisma de tres caras donde el borde superior es horizontal. En el momento inicial, la temperatura del agua es una función lineal de la altura. En el punto más bajo de la temperatura del agua T₁=4°C, y en la superior alcanza T₂=13°C. Con el paso del tiempo, la temperatura en todo el recipiente se equilibró. Calcular la temperatura T_o de equilibrio. Considerar que las paredes del recipiente no absorben calor.

Resolución

Si tenemos dos cuerpos de masas m₁ y m₂ que se encuentran inicialmente a temperaturas T₁ y T₂, y solo hay intercambio de calor entre ellos, la temperatura de equilibrio térmico que alcanza este sistema después de un cierto tiempo es:

Si tenemos tres cuerpos de masas m₁, m₂ y m₃ que se encuentran inicialmente a temperaturas T₁, T₂ y T₃:

Esto indica que la temperatura de equilibrio térmico T_eq de un sistema de cuerpos es la media ponderada de las temperaturas iniciales de los cuerpos.

Pero como en la mecánica newtoniana, el centro de masas (CM) de un sistema de partículas es la media ponderada, según la masa individual, de las posiciones de todas las partículas que lo componen, podriamos decir que si ubicamos en una recta numérica las temperaturas iniciales de las partes de un sistema termodinámico aislado, la temperatura de equilibrio térmico del sistema se encuentra ubicado en el centro de masas (o centro de gravedad) de estas temperaturas iniciales.

Observe como determino gráficamente, por criterio de centro de gravedad, la temperatura de equilibrio de un sistema formado por tres cuerpos de masas m₁=m, m₂=m y m₃=2m que se encuentran inicialmente a temperaturas T₁=20°C, T₂=40°C y T₃=60°C.

Dicho esto, planteemos el problema en cuestión.

Dividamos mentalmente el volumen de agua en secciones delgadas paralelas a la superficie libre del agua. Resulta fácil verificar que la masa y la temperatura de cada una de estas secciones aumenta linealmente con la altura medida desde el borde inferior (la masa de la sección mas baja es prácticamente cero).

A continuación se muestra un diagrama de temperaturas de todas estas secciones (hemos representado con una flecha hacia abajo las masas de las secciones delgadas que aumentan linealmente con la temperatura).

Por criterio de centro de gravedad, se deduce que la temperatura de equilibrio del sistema se encuentra dos veces mas alejado de la temperatura mas baja (4°C) que de la temperatura mas alta (13°C) y por tanto esta temperatura es de 10°C (recordar que el centro de gravedad un triangulo se encuentra en su baricentro).

Choques inelásticos entre péndulos

Problema propuesto por Kósel (olimpiada Rusa 1994), adaptado por Llactahuaman (libro Olimpiadas de Física para principiantes), que lo he generalizado.

PROBLEMA
Ligados a ejes horizontales que pasan por los puntos O₁, O₂, O₃, . . . O_n se encuentran n péndulos idénticos, conformados por esferillas de masa m y cuerdas de masa despreciable de longitud L. Estos puntos se encuentran sobre una misma vertical siendo la separación entre dos de estos puntos consecutivos igual a 2L. Inicialmente el sistema se encuentra en reposo. ¿Con qué velocidad horizontal mínima se debe lanzar la esferilla 1 del péndulo inferior para que la esferilla n del péndulo superior complete una vuelta completa alrededorde su eje? Asuma que todos los choques que se producen son completamente inelásticos. Dar respuesta en función de k = n(4n² + 9n + 2):

La respuesta del problema es: