Hace unos momentos recibi un paper de Israel Diaz respecto de criterios para maximizar expresiones trigonométricas y me vino a la mente un post que deje inconcluso hace algunas semanas.
En una reunión de trabajo en Trilce con mis colegas Max Soto Romero y Dan Pariasca, cuando estaba colocando las claves de un material para el colegio (nivel UNI), me tope con un problema en donde se requería maximizar una expresión trigonométrica (el que figura abajo). Eso me pareció excesivo para escolares, por mas que sean alumnos tipo UNI, pero ellos me comentaron que había una regla práctica para maximizar expresiones que resultan del producto de potencias de funciones Seno y Coseno.
Yo no conocía este método práctico (siempre lo hacía por derivadas). Max me comentó que ese método práctico lo conocía desde hace varios años y que anecdóticamente lo conoció por uno de sus alumnos del grupo selección (grupo de talentos) de hace mucho tiempo.
Así que con su permiso, he demostrado este teorema para un caso general, que lo llamaré Max's Theorem, (teorema de Max), que permite maximizar expresiones trigonométricas de la forma:
TEOREMA:
Una expresión trigonométrica de la forma:
siendo m y n numeros racionales de igual signo, toma su máximo valor para un ángulo θ tal que:
Una expresión trigonométrica de la forma:
siendo m y n numeros racionales de igual signo, toma su máximo valor para un ángulo θ tal que:
Para demostrar esto, utilizaremos el criterio de la derivada: se deriva la expresión respecto de la variable θ; igualamos esta derivada a cero y resolvemos la ecuación obtenida.
Según esto, la expresión anterior toma su máximo valor para un ángulo θ que cumple la siguiente relación:
Veamos dos ejemplos de aplicación de este criterio
PROBLEMA 1
Dos partículas electrizadas, con cargas eléctricas de igual valor, se encuentran ubicadas en los puntos A y B separadas cierta distancia. Si en un punto P ubicado sobre el plano de simetría la magnitud del campo eléctrico toma su máximo valor, determinar la tangente del ángulo PAB.
Resolución
Tomemos un punto genérico P ubicado sobre el plano de simetría y determinemos en este punto el campo eléctrico resultante ER de los campos generados por cada una de las cargas eléctricas (tenga en cuenta que por criterio de simetría cada una de las cargas genera en P campos de la misma magnitud E y por lo tanto ER tiene dirección vertical).
Como las componentes horizontales de E se anulan, el módulo de la resultante ER es igual a la suma de las componentes verticales de E.
De esta expresión concluimos que ER tomará su máximo valor cuando la expresión trigonomética φ = senθ.cos2θ sea máxima, y en esta parte aplicamos el Teorema de Max (con m = 1 y n = 2).
Nos piden la tangente de θ, por tanto la respuesta es √2/2.
PROBLEMA 2
Una esferilla se deja en libertad de movimiento de la parte superior de un plano inclinado. Si esta recorre una distancia e hasta que choca elásticamente con la superficie horizontal, determinar el máximo valor que puede tomar el número n. Desprecie todo tipo de rozamiento.
Resolución
A partir del principio de conservación de la energía mecánica se verifica que la rapidez con que llega la esferilla a la base del plano inclinado es:
Por otro lado, como la esferilla choca elásticamente con la superficie horizontal, la velocidad con la que inicia su movimiento parabólico también es de módulo v y también forma un ángulo θ respecto de la horizontal, como se muestra en la figura adjunta.
A continuación analizaremos el movimiento parabólico que describe la esferilla y usaremos la fórmula que relaciona el alcance horizontal R con la rapidez de lanzamiento vo y el ángulo de lanzamiento θ.
De esta expresión concluimos que n tomará su máximo valor cuando la expresión trigonomética φ = sen2θ.cosθ sea máxima, y en esta parte aplicamos el Teorema de Max (con m = 2 y n = 1).
De esto se deduce que el máximo valor de n, y el correspondiente ángulo θ, es:
A continuación les muestro el aporte de Israel Diaz que permite hacer esto, ¡sin usar derivadas!. Su lectura y análisis es muy recomendable.
