Interesante problema planteado por nuestro amigo Hugo Alberto Luyo Sánchez que he modificado para que en su resolución no transcienda la parte de cálculo (resolver una ecuación completa de cuarto grado) sino la parte fenomenológica del problema (versión original del problema).
Oscilación bidimensional de un sistema
La figura muestra un sistema formado por dos esferillas idénticas, que se encuentran conectadas por un resorte ideal cuya longitud natural es L, que se encuentra en reposo apoyado sobre una superficie horizontal donde el rozamiento es despreciable. En cierto instante cada esferilla es impulsada con velocidades en la forma que se indica, de modo que la energía cinética de cada una es E. Si la máxima deformación que experimenta el resorte es x, determine la constante de rigidez del resorte.
Resolución
Lo primero que debemos señalar es que como el sistema mecánico en cuestión es aislado, se conservará su momentum lineal.
Por otro lado, como sobre cada esferilla actúa en todo momento una fuerza central, que en todo momento apunta hacia el centro de masas del sistema, se conservará el momentum angular de cada esferilla respecto de dicho punto.
Y, finalmente, como el sistema se encuentra libre de toda clase de rozamiento, y las fuerzas internas son conservativas, se conservará su energía mecánica.
Pues bien, manos a la obra.
Analizaremos el movimiento del sistema respecto de su centro de masas (CM), debido a que respecto de este sistema de referencia el CM (que en este caso es el punto medio del resorte) se encontrará en todo momento en reposo.
Para esto determinemos primeramente la velocidad del centro de masas del sistema (el centro de masas lo hemos representado con la letra C).
A partir de esto es fácil determinar las velocidades de cada una de las partículas respecto del punto C.
Observe que, a partir de esto concluimos que el momentum lineal del sistema, respecto del punto C, es nulo en todo momento (esto es debido a que el momentum lineal de cada partícula es en cada instante de la misma magnitud y dirección opuesta que la de la otra).
Por otro lado, con el objetivo de analizar un subsistema del sistema original, hemos desdoblado el resorte original, de constante de rigidez k, en dos resortes idénticos de constante de rigidez 2k (acoplamiento de resortes en serie), como se muestra en la figura. De esta manera podremos analizar el movimiento del subsistema formado por una de las partículas (A en este caso) acoplada a un resorte de constante 2k cuyo extremo opuesto se encuentra fijo.
A continuación, apliquemos el principio de conservación del momentum angular (respecto del punto C) a la esferilla A, teniendo en cuenta que la longitud final del resorte es igual a su longitud inicial menos la deformación del resorte (LF = L - x) y que la máxima deformación x del resorte, en este caso, se da cuando su velocidad u es perpendicular a la recta definida por el eje del resorte.
Finalmente, apliquemos el principio de conservación de la energía mecánica al sistema formado por la esferilla A y el resorte de constante de rigidez 2k (que sería equivalente a aplicar este principio al sistema físico original).
De donde reemplazando la expresión de la velocidad final u de la esferilla obtenida anteriormente, y teniendo en cuenta la condición inicial del problema (que E es la energía cinética inicial de cada esferilla), se concluye que:
