Problema polémico en el examen a la U del Callao

El día de ayer Domingo 30 de Diciembre se realizó el proceso de admisión a la Universidad Nacional del Callao 2012-2 y hubo un problema de Álgebra que generó alguna controversia (hasta ahora no entiendo porqué). El problema es el siguiente:

PROBLEMA
La figura es un esbozo del gráfico de la función y = p(x) = (x - a)(x - b)(x² - 2x + c). Considerando que i = √-1, una de las raíces complejas de p(x) es.

Resolución

Como la gráfica de la función intersepta al eje x en los puntos x = -2 y x = -1 (raíces reales) se cumple que p(-2) = p(-1) = 0. A partir de esto se deduce que a = -2 y b = -1 (o al revés).

Por otro lado, como la gráfica de la ecuación intersepta al eje y en el punto y = 10 se cumple que p(0) = 10. A partir de esto podemos plantear la siguiente ecuación:

De esta ecuación concluimos que c = 5 y por tanto la expresión matemática de la función es:

De estos resultados concluimos que esta ecuación tendrá dos raíces reales y dos complejas. Para determinar las soluciones complejas tenemos que resolver la ecuación de segundo grado usando la fórmula cuadrática.

De donde se deduce que la respuesta del problema es D.

Problema de temperatura de equilibrio térmico

Nuestro amigo y colega Oswaldo Farro, ha publicado en su muro del facebook un problema de entrenamiento para olimpiadas del equipo de la region de Novosibirsk en Rusia, que comparto con uds.

PROBLEMA
Un contenedor de agua tiene la forma de un prisma de tres caras donde el borde superior es horizontal. En el momento inicial, la temperatura del agua es una función lineal de la altura. En el punto más bajo de la temperatura del agua T₁=4°C, y en la superior alcanza T₂=13°C. Con el paso del tiempo, la temperatura en todo el recipiente se equilibró. Calcular la temperatura T_o de equilibrio. Considerar que las paredes del recipiente no absorben calor.

Resolución

Si tenemos dos cuerpos de masas m₁ y m₂ que se encuentran inicialmente a temperaturas T₁ y T₂, y solo hay intercambio de calor entre ellos, la temperatura de equilibrio térmico que alcanza este sistema después de un cierto tiempo es:

Si tenemos tres cuerpos de masas m₁, m₂ y m₃ que se encuentran inicialmente a temperaturas T₁, T₂ y T₃:

Esto indica que la temperatura de equilibrio térmico T_eq de un sistema de cuerpos es la media ponderada de las temperaturas iniciales de los cuerpos.

Pero como en la mecánica newtoniana, el centro de masas (CM) de un sistema de partículas es la media ponderada, según la masa individual, de las posiciones de todas las partículas que lo componen, podriamos decir que si ubicamos en una recta numérica las temperaturas iniciales de las partes de un sistema termodinámico aislado, la temperatura de equilibrio térmico del sistema se encuentra ubicado en el centro de masas (o centro de gravedad) de estas temperaturas iniciales.

Observe como determino gráficamente, por criterio de centro de gravedad, la temperatura de equilibrio de un sistema formado por tres cuerpos de masas m₁=m, m₂=m y m₃=2m que se encuentran inicialmente a temperaturas T₁=20°C, T₂=40°C y T₃=60°C.

Dicho esto, planteemos el problema en cuestión.

Dividamos mentalmente el volumen de agua en secciones delgadas paralelas a la superficie libre del agua. Resulta fácil verificar que la masa y la temperatura de cada una de estas secciones aumenta linealmente con la altura medida desde el borde inferior (la masa de la sección mas baja es prácticamente cero).

A continuación se muestra un diagrama de temperaturas de todas estas secciones (hemos representado con una flecha hacia abajo las masas de las secciones delgadas que aumentan linealmente con la temperatura).

Por criterio de centro de gravedad, se deduce que la temperatura de equilibrio del sistema se encuentra dos veces mas alejado de la temperatura mas baja (4°C) que de la temperatura mas alta (13°C) y por tanto esta temperatura es de 10°C (recordar que el centro de gravedad un triangulo se encuentra en su baricentro).

Choques inelásticos entre péndulos

Problema propuesto por Kósel (olimpiada Rusa 1994), adaptado por Llactahuaman (libro Olimpiadas de Física para principiantes), que lo he generalizado.

PROBLEMA
Ligados a ejes horizontales que pasan por los puntos O₁, O₂, O₃, . . . O_n se encuentran n péndulos idénticos, conformados por esferillas de masa m y cuerdas de masa despreciable de longitud L. Estos puntos se encuentran sobre una misma vertical siendo la separación entre dos de estos puntos consecutivos igual a 2L. Inicialmente el sistema se encuentra en reposo. ¿Con qué velocidad horizontal mínima se debe lanzar la esferilla 1 del péndulo inferior para que la esferilla n del péndulo superior complete una vuelta completa alrededorde su eje? Asuma que todos los choques que se producen son completamente inelásticos. Dar respuesta en función de k = n(4n² + 9n + 2):

La respuesta del problema es:

Mejor problema de Física del año 2012

Como sabrán, nuestro amigo Erico Fredy Palacios Loayza, autor del muy visitado blog peruano Matematica y Olimpiadas, realizó una selección de los mejores problemas propuestos este año. Esta selección que yo sepa no tiene precedentes en el mundo y el objetivo es la promover la investigación, la competencia y la difusión de los contenidos de cada uno de los cursos que propone Erico en esta elección (leer propuesta de Erico).

En esta oportunidad, y por segundo año consecutivo, un problema inédito mío es elegido como problema del año en el curso de Física, por lo cual me siento agradecido a las personas que votaron por mi. Esto me anima a seguir esforzándome en la difusión y en proponer cada vez mas contenidos de Física que permitan a los interesados de diferentes partes del mundo ahondar sus conocimientos en esta apasionante ciencia.

La novedad en el problema que propuse este año, es que el problema que propuse lo resuelvo usando un método inédito, solo conocido por un círculo muy pequeño de amigos y colegas, y espero que de esta manera se difunda mas este método de resolución.

El problema de Física ganador este año en la categoria nacional es:

PROBLEMA
Una semiesfera de 8 kg de masa y 20 cm de radio se encuentra en el fondo de un depósito que contiene agua. Determine el trabajo mínimo que se debe realizar sobre la semiesfera para sacarla del agua (g = 10 m/s²).

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El problema de Física ganador el año 2011 fue:

PROBLEMA
Una partícula es lanzada horizontalmente con una cierta velocidad constante v_o desde el punto A, de una superficie cilíndrica de radio R, cuyo eje es una recta horizontal que pasa por O. Determinar el ángulo θ, que define la posición del punto A, para que el tiempo que dicha partícula permanece en el aire dentro del cilindro sea máximo. Despreciar toda clase de rozamiento.Expresar en téminos de la siguiente constante:

Ver resolución

Fuente: Matematicas y Olimpiadas

Las 10 ecuaciones matemáticas que cambiaron el mundo

Navegando por la web me encontre con este interesante vídeo en el que nos muestran un listado de las 10 ecuaciones matemáticas que, según la opinión de los autores del mismo, cambiaron el mundo.

10: El modelo Black-scholes
09: El teorema de Pitágoras
08: La transformada de Fourier
07: El teorema fundamental del cálculo 
06: Fórmula de poliedros de Euler
05: Ley de Gravitacion Universal
04: Las ecuaciones de Maxwell
03: 2da ley de la Termodinamica
02: La ecuación de Schrodinger
01: Teoria especial de la relatividad

Enlace relacionado: Cinco ecuaciones que cambiaron el mundo

Ranking mejores problemas de Física del año 2012

Nuestro amigo Erico Fredy Palacios Loayza, autor del muy visitado blog peruano Matematica y Olimpiadas, eligirá este 25 de Diciembre, en una elección que no tiene precedentes en el mundo, los mejores problemas propuestos en el año 2012 (leer propuesta de Erico). Se elegirá dos problemas (uno nacional y otro internacional) de cada uno de los siguientes cursos: Aritmética, Algebra, Geometría, Trigonometría, Física, Química, Razonamiento Matemático y Biología.

Despues de evaluar los problemas de Física que he propuesto este año en este blog, mi candidato a mejor problema en la categoría nacional es:

PROBLEMA
Una semiesfera de 8 kg de masa y 20 cm de radio se encuentra en el fondo de un depósito que contiene agua. Determine el trabajo mínimo que se debe realizar sobre la semiesfera para sacarla del agua (g = 10 m/s²).

Este problema lo propuse originalmente en un medio impreso en el año 1992 (¡hace 20 años!) y este año lo volví a proponer como Problemas de entrenamiento para la Olimpiadas (PROBLEMA 3) y lo he elegido porque considero original la forma como lo resuelvo.

Este problema se resuelve normalmente usando métodos de integración, como bien lo comenta nuestro amigo Hugo Luyo Sanchez del blog Mathematicorum y Yo ya que se requiere cada vez una mayor fuerza conforme el cuerpo va saliendo a flote.

Como le comenté a Hugo, este tipo de problemas en donde un cuerpo se mueve muy lentamente en el interior de un liquido en reposo, lo resuelvo haciendo uso del concepto, críticado por algunos puristas, de energía potencial hidrostática, que no se encuentra en la literatura científica.

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Mis candidatos a mejor problema internacional los propuso nuestro amigo Hugo Luyo Sanchez a través de su cuenta del facebook.

El primero proviene de la olimpiada rusa del año 1985 y también fue propuesto hace un par de años en Brasil en su examen selectivo para las olimpiadas de Física (nivel intermedio).

PROBLEMA
Una línea de campo eléctrico emerge desde una carga puntual positiva +q₁, bajo un ángulo α respecto de la línea que conecta a esta carga con una carga puntal negativa −q₂. ¿Bajo qué ángulo β debería entrar la línea de campo eléctrico a la carga −q₂?

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El segundo es un problema del Instituto Indio de Tecnología.

PROBLEMA
Una esfera metálica de masa m y radio R, cuya superficie exterior es perfectamente reflactante, se coloca sobre una superficie rugosa en la forma que se indica. El coeficiente de fricción entre la esfera y el piso es µ. La esfera es irradiada con dos haces de luz láser A y B de frecuencia f_A y f_B desde lados opuestos como se muestra en la figura. Si los haces tienen intensidades I_A e I_B, determinar I_A - I_B para que la esfera se encuentre a punto de resbalar.

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Ver más candidatos a problemas del año

Trabajo mínimo para sacar un hemisferio del agua

Este problema lo propuse originalmente en un medio impreso en el año 1992 (¡hace 20 años!) y este año lo volví a proponer como problemas de entrenamiento para la Olimpiadas (PROBLEMA 3).

PROBLEMA
Una semiesfera de 8 kg de masa y 20 cm de radio se encuentra en el fondo de un depósito que contiene agua. Determine el trabajo mínimo que se debe realizar sobre la semiesfera para sacarla del agua (g = 10 m/s²).

Este problema se resuelve normalmente usando métodos de integración ya que se requiere cada vez una mayor fuerza conforme el cuerpo va saliendo a flote.

No obstante, este tipo de problemas en donde un cuerpo se mueve muy lentamente en el interior de un liquido en reposo, lo resuelvo haciendo uso del concepto, críticado por algunos puristas, de energía potencial hidrostática, que no se encuentra en la literatura científica.

Cuando un cuerpo se encuentra parcial o totalmente sumergido en un fluido, se le puede asociar a la fuerza de empuje hidrostático una energía que la he denominado energía potencial hidrostática.

A continuación, resolveremos este problema teniendo en cuenta que el trabajo mínimo que un agente externo debe realizar para sacar la semiesfera del agua, es cuando esta se mueve muy lentamente (su energía cinética tiende a cero) y por tanto este trabajo es igual a la diferencia de sus energía potencial final e inicial.
Tomando como nivel de referencia una recta horizontal que pasa por el centro de gravedad de la semiesfera en el estado inicial, en el estado inicial solo existe energía potencial hidrostática y en el estado final solo existe energía potencial gravitatoria.

De donde reemplazando datos, tenemos:

Otro problema que he resuelto anteriormente, en donde aplico este concepto, es el que fue propuesto en un examen para profesores de Física de la corporación educativa TRILCE y donde fui criticado por algunos por hacerlo público, porque supuestamente era un examen interno. Vamos señores, la divulgación de la ciencia esta primero!

El problema es el siguiente:

PROBLEMA
Se deja flotar un cubo de arista igual a L = 20 cm en un recipiente que contiene aceite y agua como se muestra en la figura. Considerando ρ_cubo = 0,32 g/cm³, ρ_aceite = 0,8g/cm³ y ρ_agua = 1 g/cm³, hallar el trabajo mínimo necesario de una fuerza vertical hacia abajo que permite ubicar el cubo íntegramente sumergido en agua. (g = 10 m/s²)

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A continuación, otros problemas similares.

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PROBLEMA
Una capa gruesa de aceite con densidad de 0,8 g/cm³ se coloca en la parte superior del agua en un tanque. El área de la base del tanque es muy grande. Un cubo de magnesio se coloca en el tanque de tal manera que su cara superior está a 0,5 dm debajo del límite. El lado del cubo es de 2 dm y su densidad es de 1,7 g/cm³. El cubo se tira entonces de modo que su cara inferior esté 0,5 dm por encima del límite. ¿Cuánto trabajo se llevó a cabo?

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PROBLEMA
Una pieza en forma de paralelepípedo de madera cuya área de la base es 1 dm2 y altura 4 m está flotando verticalmente en un estanque, debido a que su centro de masa no está en su centro geométrico. Para hacer que la madera se sumerga y flote en posición horizontal como se muestra, tenemos que ejercer una fuerza hacia abajo de F = 80 N en su extremo. Determine el trabajo realizado a la madera para moverlo de la posición inicial a la final.

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PROBLEMA
Un contenedor metálico de forma de paralelepípedo de base cuadrada, cuya masa es de 13 kg, tiene una altura de 6 dm, lado de la base de 2 dm, y está lleno hasta la mitad de agua. El recipiente se coloca sobre su lado en la parte inferior de un depósito en forma de paralelepípedo, cuya área de la base es 20 dm² y en la que el nivel de agua está a una altura de 4 dm. Encontrar el trabajo total que se requiere para poner de pie en posición vertical el recipiente metálico sobre su base cuadrada.