Este problema lo he propuesto en diferentes foros en donde participo y como comenta acertadamente nuestro amigo Hugo Luyo Sanchez (Mathematicorum y Yo), que es quien lo ha dejado como tarea a su grupo de preparación Richard Feynman, este proviene de la olimpiada rusa del año 1985 y también fue propuesto hace un par de años en Brasil en su examen selectivo para las olimpiadas de Física (nivel intermedio).
El problema es el siguiente:
PROBLEMA
Una línea de campo eléctrico emerge desde una carga puntual positiva +q1, bajo un ángulo α respecto de la línea que conecta a esta carga con una carga puntal negativa −q2. ¿Bajo qué ángulo β debería entrar la línea de campo eléctrico a la carga −q2?
Resolución
Primero debemos señalar que no todas las líneas de campo, que representan este campo electrostático, que parten de la carga eléctrica +q1 acaban en la carga −q2 (existen algunas que acaban en el infinito).
En el caso de un sistema formado por dos cargas eléctricas de signo contrario, se cumple que la cantidad de líneas de campo que sale o que entra a una carga eléctrica es directamente proporcional al valor absoluto de dicha carga, es decir se cumple que:
siendo N1 y N2 el número total de líneas de campo que salen de +q1 o ingresan a −q2 respectivamente. Esto se concluye de la interpretación geométrica de la ley de Gauss.
Observe que en el sistema de cargas mostrado en la figura adjunta la relacion de cargas es de 2 a 1 y el número de líneas que sale de la carga positiva y que entra a la carga negativa tambien se encuentra en la misma relación (de la carga positiva salen 16 líneas y a la carga negativa entran 8 líneas).
Es importante señalar que las líneas de campo se distribuyen en todo el espacio, aunque aqui están representadas en el plano, y que a grandes distancias, comparadas con la distancia de separación entre las cargas, las líneas de campo que representan este campo eléctrico son aproximadamente radiales como si hubieran sido generadas por una sola carga puntual que posee una carga igual a la carga neta del sistema.
Para determinar una relación entre los ángulos genéricos α y β debemos asumir que todas las líneas se campo que salen o que entran a una superficie esférica imaginaria de radio R pequeño, en cuyo centro se encuentra cada carga puntual, se encuentran uniformemente espaciadas en toda su superficie.
En la región cercana a cada una de las cargas solo el campo generado por esta es apreciable (la influencia de la otra carga se desprecia).
Consideremos un ángulo sólido en la esfera de la izquierda en donde el ángulo plano que lo define es 2α y que las N líneas que salen del casquete esférico que lo subtiende ingresan a la esfera de la derecha a través de un ángulo sólido en donde el ángulo plano que lo define es 2β.
Como las líneas de campo se encuentran uniformemente distribuidas a lo largo de toda la superficie se cumple que el número de líneas de campo que entran o salen de la superficie esferica es directamente proporcional al área de la superficie esférica que consideremos.
Para este debemos recordar que el área de la superficie de un casquete esférico es igual a:
siendo R el radio de la esfera y h la distancia radial del centro del casquete a la esfera.
Teniendo presente esto, podemos plantear la siguientes relaciones:
- Para la 1ra esfera:
- Para la 2da esfera se deduce que:
De estas relaciones se deduce que:
y teniendo en cuenta la relación escrita al comienzo concluimos que:
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