Equilibrio de un sistema casquete - barra

Hace unos días mi amigo y colega Max Soto Romero de la Academia Trilce me planteó un problema de equilibrio, que a primera vista me pareció "extraño" o inusual.

El problema era el siguiente:

PROBLEMA
Un sistema está formado por un cascarón semiesférico de radio R y una barra de longitud L que se encuentra parcialmente dentro de él. Si la masa del cascarón es M y la de la barra es m, y el sistema se encuentra en equilibrio en la posición indicada, encontrándose la barra dispuesta en forma horizontal, determinar el ángulo θ que forma la barra con el radio del cascarón que pasa por el punto de contacto entre estos. Considere que la barra es uniforme y homogénea y que no existe rozamiento.

Resolución

Para resolver este problema, primero analicemos el estado de equilibrio de la barra uniforme y homogénea.

Antes de construir el DCL de la barra, que es el primer paso para resolver un problema de equilibrio, señalemos que la fuerza de reacción normal F_n debido al contacto entre dos cuerpos siempre es perpendicular a la superficie de apoyo.

Como la barra interactúa con tres cuerpos (dos interacciones por contacto y una a distancia), sobre esta actúan tres fuerzas: dos fuerzas de reacción normal y una fuerza de gravedad (peso). La figura adjunta muestra el DCL de la barra:

El segundo paso para resolver un problema de equilibrio es aplicar las condiciones de equilibrio. De la 1ra condición de equilibrio se deduce que si sobre un cuerpo en equilibrio solo actúan tres fuerzas, estas, al ser graficadas uno a continuación del otro, deben formar un triángulo cerrado.

Como la resultante de las fuerzas verticales F_g y F_n es vertical, para que se cumpla la 1ra condición de equilibrio, la tercera fuerza F^'_n también debería ser vertical. De esto se concluye que la fuerza de reacción normal entre la barra y la superficie interior del casquete debe ser nula (F^'_n=0) y por tanto F_g = F_n.

Por otro lado, de la 2da condición de equilibrio se deduce que, si sobre un cuerpo en equilibrio solo actúan dos fuerzas (F_g y F_n) estas deben ser colineales. Por tanto, como F_g actúa en el punto medio de la barra, el punto de apoyo de la barra se encuentra también en su punto medio.

Antes de analizar el estado de equilibrio del sistema como conjunto, debo señalar que el centro de gravedad del cascarón semiesférico se encuentra en el punto G ubicado sobre su eje de simetría a una distancia R/2 de su centro de curvatura, es decir Y_G = R/2 (esto se demuestra por métodos de integración que escapan a los alcances de este blog, aunque estoy tratando de demostrarlo por métodos "mas elementales").

A continuación se muestra el DCL del sistema casquete-barra (no se grafican las fuerzas internas de contacto entre las partes del sistema).

Como el sistema casquete-barra interactúa con tres cuerpos exteriores (una interacción por contacto y dos a distancia), sobre este actúan tres fuerzas verticales: una fuerza de reacción normal F_n y dos fuerzas de gravedad (pesos de las partes).

Aplicando la 2da condición de equilibrio al sistema, respecto del punto de apoyo P:

De esto se deduce, por consideraciones estrictamente geométricas, que existe una relación definida entre la longitud L de la barra y el radio R del casquete para que se cumpla la condición del problema.

Como comentario final mencionaré que este problema sale de los cánones normales y ha dado que hablar al mundillo preuniversitario.

Felicitaciones por hacer algo diferente Max . . . and go on.

Preparándose para la Olimpiada de Física 2012

2da entrega de problemas de preparación del Club Richard Feynman, que dirige nuestro amigo Hugo Luyo Sanchez (Mathematicorum y Yo), con miras a la Olimpiada de Física del próximo año.

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AC/DC y el espíritu navideño de sus promotores

A todos los que les gusta el rock como yo, saben quien es AC/D: legendario grupo de rock metalero de los 70's que aún hoy se encuentra en actividad.

Cuentan que el nombre de esta banda lo sugirió la hermanita menor (Margaret) de los miembros fundadores del grupo, los hermanos de origen escocés Malcon y Angus Young. Ella había visto esta sigla en la parte trasera de su aspiradora, la clásica abreviatura de "alternating current/direct current" (corriente alterna/corriente continua) y según ella este nombre encajaba con la "electricidad del grupo". Antiguamente no era raro que los artefactos funcionasen con cualquiera de estos dos tipos de corrientes: corriente alterna(CA) y corriente continua(CC).

Pero la temática de nuestro blog no es la música, aunque esta forma parte de nuestra vida, así que hoy hablaremos de los orígenes de estos dos tipos de corriente y del célebre enfrentamiento que hubo por ellas entre Thomas Alva Edison, empresario y prolífico inventor norteamericano, y Nikola Tesla, inventor e ingeniero originario de una región de la Europa central (actual Croacia) y considerado por muchos como uno de los genios-inventores mas grandes del siglo XX.

Cuenta la historia que Tesla viajo de Francia, en donde trabajó en una de las compañías de Thomas Alva Edison, a los Estados Unidos con el objetivo de exponerle a Edison sus ideas acerca de su motor de inducción de corriente alterna, pero este lo contrató para que rediseñara sus ineficientes generadores de corriente continua y no para desarrollar sus ideas acerca de la corriente alterna. Resulta obvio que no llegaron a trabajar mucho tiempo juntos.

Empeñado Tesla en mostrar la superioridad de la CA sobre la CC de Edison se desarrolló lo que se conoce como "guerra de las corrientes". En 1893 se hizo en Chicago una exhibición pública de la corriente alterna, demostrando su superioridad sobre la corriente continua de Edison.

En esta guerra mediática, la electrocución de Topsy, un elefante de circo de cierto mal genio que ya estaba programado para la muerte, fue quizá el golpe más bajo en la campaña de Edison en contra de Tesla.

Lo que comenzó como una discusión sobre si la corriente alterna (CA) o la corriente continua (CC) podría ser más práctico atender las necesidades energéticas del país, por la década de 1890, se convirtió en una guerra de acusaciones, con Edison argumentando que la corriente alterna era peligrosa ya que podría electrocutar personas.

Al final, CA de Tesla sistema ganó, no porque era mejor para electrocutar a alguien, sino que esta clase de corriente era más fácil de transmitir y más fácil de convertir a diferentes voltajes.

La biografía de Nikola Tesla, y su áspera relación con Thomas Alva Edison, es muy interesante desde el punto de vista histórico, pero los dejo con una animación acorde con el espíritu navideño que nos envuelve en estos días, en la que Tesla y Edison se pelean por encender las luces del árbol de navidad de Rockefeller Center, pero al final se dan la mano (en la vida real nunca sucedio esto).

Desde este humilde blog les deseamos que pasen una ¡feliz navidad!

El secreto de Tesla

Sin lugar a dudas, Tesla fue un personaje enigmático, excéntrico (nunca daba la mano) y dueño de una imaginación magnífica.

Al igual que otras mentes brillantes que tienden a realizar grandes cálculos e invenciones en su cabeza, Tesla se vio presa de un desorden obsesivo-compulsivo en la última parte de su vida. Vivia obsesionado con su trabajo y dormía muy poco, lo cuál eventualmente lo llevó al agotamiento y a desarrollar las enfermedades psicosomáticas y neurosis obsesivas.

Es importante subrayar el episodio en el que Tesla, habiendo conseguido una patente sobre los generadores de corriente alterna que le daría millones de dólares decide romper el contrato que lo beneficiaba con US$1 por cada generador CA y con esto ayudar a George Westinghouse, cuya compañía (Westinghouse Electric) estaba cerca de declararse en bancarrota.

A continuación la película El secreto de Tesla (1980), que trata acerca de la vida de este genio olvidado y su relación con Thomas Alva Edison, George Westinghouse y J.P Morgan, con subtítulos en español.

Problema que aparentemente faltan datos

En un post anterior, resalté un problema propuesto por Hugo Luyo Sanchez (Mathematicorum y Yo), en donde aparentemente faltaban datos, aunque él recalcaba una y otra vez que no era así.

Todos nosotros aprendemos durante muestra vida algoritmos para resolver diferentes tipos de problemas, es decir aprendemos modelos de resolución de problemas concretos. Pero si por alguna razón un determinado problema no encaja en ninguno de estos algoritmos, solemos pensar que se requiere información adicional para resolverlo (problema de suficiencia de datos).

Por ejemplo, para resolver un problema de equilibrio, uno de los algoritmos de resolución es el siguiente:

Primero, realizar el diagrama de cuerpo libre (DCL) del cuerpo o del sistema que se encuentra en equilibrio.

Segundo, construir un polígono cerrado de fuerzas, con las fuerzas que han sido identificadas en el paso anterior.

Tercero, resolver el poligono, esto es determinar una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en equilibrio, asumiento que todas las demás son conocidas.

Estos pasos son conocidos por todo aquel que tiene nociones de Estática, pero todos estamos acostumbrados a que nos den los datos y encontrar la incognita en un problema. No estamos acostumbrados a encontrar los datos a partir de un gráfico, y el problema en mensión es de este tipo.

La gran mayoría a tratado de resolver este probelma matemáticamente, y algunos hasta han tratado de encontrar la ¡ecuación de la catenaria!, cuando la resolución es realmente simple si hacemos uso del gráfico, suponiendo claro está que este también es una fuente de información.

El extremo de una cuerda fija a una pared vertical y el otro extremo es jalado por una fuerza horizontal de 20 N. La forma de la cuerda flexible es como se muestra en la figura. Hallar su masa. No faltan datos.

RESOLUCION

Resulta obvio que sobre la cuerda solo actúan tres fuerzas: la fuerza horizontal mencionada, la fuerza de gravedad F_g y la tensión T en su extremo superior, que tiene una dirección tangente a la curva en ese punto.

Hagamos el DCL de la cuerda, teniendo presente que las líneas de acción de las tres fuerzas deben ser concurrentes, y construyamos el polígono cerrado de fuerzas, que es un triángulo vectorial en este caso.

Para determinar el ángulo θ, que forma la tension T con la vertical, asumimos que el gráfico se encuentra construido a escala y usamos un transportador. Asumiendo un margen de error, vemos que el ángulo θ es aproximadamente 25^o.

Finalmente, por trigonometría se concluye que F_g = 20 ctg 25^o = 42,9 N y por tanto su masa será 4,38 kg.

Olimpiada de Física: Trilce a la caza de talentos

El día de ayer domingo 12 se efectuó en la academia Trilce un examen de evaluación a todos aquellos alumnos que, estando aún en el colegio, destacan en Física y deseen representar a nuestro país en la XVII Olimpiada Iberoamericana de Física a realizarse del 17 al 22 Septiembre de 2012 en Granada, España.

Como recordarán, en esta olimpiada internacional cada país iberoamericano tiene derecho a estar representado por un equipo de hasta cuatro estudiantes (no-universitarios) que sean menores de 18 años y que no hayan participado anteriormente en eventos de este tipo.

Me comenta Max Soto, que junto con Hugo Luyo son los mas entusiastas en estos menesteres, que la academia Trilce va a apoyar a los que resulten preseleccionados con asesorias especiales para enfrentar airosamente esta competencia.

Ver evaluación

2da gran unificación de la física: Ecuaciones de Maxwell

Lo que actualmente conocemos como ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que describen por completo los fenómenos electromagnéticos en un solo cuerpo conceptual unificado denominado teoría electromagnética clásica.

La gran contribución del físico escocés James Clerk Maxwell (1831 - 1879) fue reunir en estas ecuaciones largos años de resultados experimentales, debidos a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros, introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento, y unificando los campos eléctricos y magnéticos en un solo concepto: el campo electromagnético.

Las ecuaciones de Maxwell demostraron que la electricidad, el magnetismo y hasta la luz, son manifestaciones del campo electromagnético. Desde ese momento, todas las otras leyes y ecuaciones clásicas de estas disciplinas se convirtieron en casos simplificados de estas ecuaciones. Su trabajo sobre electromagnetismo ha sido llamado la "segunda gran unificación en física",después de la primera llevada a cabo por Isaac Newton.

Pero las ecuaciones de Maxwell no tenían inicialmente la forma vectorial y elegante de 4 ecuaciones que tienen ahora. Un físico actual encontraría dificultades a la hora de reconocer las 20 ecuaciones que Maxwell propuso inicialmente.

El gran genio que revolucionó el electromagnetismo fue Oliver Heaviside que reescribió las ecuaciones de Maxwell en su forma actual.

Pero, ¿sabías que porqué pasaron 23 años que se aceptara la teoría del electromagnetismo de Maxwell?

Leer artículo: Via francisthemulenews

Si deseas aprender mas sobre esto, y no le tienes miedo a las matemáticas, haz clic en este link.

Problemas físicos imposibles

Existen ciertos problemas que por la concepción errónea del problema NO tienen solución, debido a que analizando físicamente el problema se llega a una contradicción con una de las condiciones del problema o no se cumple alguna de estas.

Hace unos días mi colega y amigo Walter Chancafe del Colegio y Academias Saco Oliveros me comentó un problema que había sido propuesto en su academia del ciclo semestral y que según él no tenía solución, pero que según el punto de vista de algunos de los profesores que enseñan en dicho ciclo, si lo tenía.

El problema era el siguiente:

PROBLEMA
La figura muestra un sistema en equilibrio que consta de una barra rígida de peso despreciable unido mediante una cuerda a un esfera de masa m. Si la barra se encuentra articulada en su extremo inferior, determinar el módulo de la fuerza horizontal F que mantiene el sistema en equilibrio.
(tan θ = 1/2; g: aceleración de la gravedad)

¿Te atreverías a descubrir porqué este problema es IMPOSIBLE?

Otro problema que es imposible, pero que esta conclusión no es tan obvia como el anterior, es el siguiente:

PROBLEMA
La figura muestra un recipiente herméticamente cerrado, que contiene un líquido de densidad ρ_l en reposo respecto de él, que desciende respecto del plano inclinado libre de toda clase de rozamiento. Si dentro del líquido existe un cuerpo de densidad ρ_c (ρ_c < ρ_l) que se encuentra unido al recipiente mediante una cuerda, determinar el ángulo ε que define su posición de equilibrio relativo.

Enlace relacionado: Fuerza de empuje en sistemas acelerados