Nuestro amigo Oswaldo Farro ha publicado en su muro del face un problema interesante de Física.

PROBLEMA
En el preciso momento en que un artillero dispara una bala,empieza a deslizarse desde el reposo en un plano inclinado cuyo coeficiente de rozamiento es μ. Despreciando la resistencia del aire, calcule el ángulo de inclinación θ del plano inclinado para que la bala impacte en el artillero.

Antes de resolver este problema . . .

Problema de Geometría

Gracias al invalorable aporte de nuestro amigo Erico Palacios de Matematicas y Olimpiadas, esta es la resolución del problema geometrico propuesto por Milton Donaire a través del blog SobreGeometrias.

PROBLEMA
Si la medida del arco ST es de 100^o, calcule la medida del ángulo x. P, Q y B son puntos de tangencia y S, M y N son colineales.

Antes de resolver este problema, demostremos un teorema:.

Si se tienen dos circunferencias secantes en los puntos Q₁ y R₁ y trazamos una recta AB tangente a una de ellas en el punto P, y se toman dos puntos Q₂ y R₂ sobre la otra de modo que Q₂ se encuentra en la prolongación de Q₁P y R₂ en la prolongación R₁P, se cumple que el segmento R₂Q₂ es paralelo a AB.

DEMOSTRACION
Tracemos el segmento Q₁R₁. Teniendo en cuenta las definiciones de ángulo inscrito y semi-inscrito en la circunferencia menor se verifica que las medidas de los ángulos R₁Q₁P y R₁PB son iguales. Por otro lado, teniendo en cuenta la definición de ángulo inscrito en la circunferencia mayor se verifica que las medidas de los ángulos R₁Q₁Q₂ y R₁R₂ Q₂ tambien son iguales.

De esto se concluye que el segmento R₂Q₂ es paralelo al segmento AB y que los arcos AR₂ y BQ₂ son iguales.

A partir de esto se puede establecer el siguiente corolario:

Si se tienen dos circunferencias secantes en los puntos Q₁ y R₁ y trazamos una recta AB tangente a una de ellas en el punto P, y se toman dos puntos Q₂ y R₂ sobre la otra de modo que R₂ se encuentra en la prolongación de R₁P y R₂Q₂ es paralelo a AB, se cumple que el punto Q₂ se encuentra contenida en la prolongación del segmento Q₁P.

A partir de esto resolvamos el problema en mensión.

Primeramente, como los segmentos QB y QP son tangentes a la circunferencia, sus longitudes deben ser iguales y por tanto el triángulo BQP es isósceles. 

Luego, de acuerdo al teorema demostrado anteriormente, el segmento ST es paralelo al segmento AQ. 

Luego, de acuerdo al corolario consecuencia del teorema, como el segmento AQ, que es tangente a la circunferencia menor, y el segmento ST son paralelos, los puntos M, Q y T son colineales. 

Finalmente, aplicando la definición de ángulo inscrito a la circunferencia mayor se verifica que la medida del ángulo SMT es de 50^o, aplicando la definición de ángulo inscrito y semi-inscrito en la circunferencia más pequeña se verifica que las medidas de los ángulos NMQ y NQP son de 50^o.

De esto se deduce que el ángulo x es de 65^o.

Problemas interesantes de matemática

Me han consultado un par de problemas de matemática y espero que alguno de mis colegas y amigos me pueda ayudar a resolverlo y de esta manera contribuir al conocimiento de nuestra comunidad.

PROBLEMA
Determine el menor valor entero “k” que satisface la siguiente desigualdad:

PROBLEMA
Si la medida del arco ST es de 100^o, calcule la medida del ángulo x. P, Q y B son puntos de tangencia y S, M y N son colineales.

Ver resolución

Problemas para olimpiadas de Física

Este Sábado 19 de Mayo es la prueba de calificación de la Olimpiada Nacional de Física. Los que califiquen nos representarán en diferentes olimpiadas a nivel internacional. A continuación tres problemas físicos de diferentes capítulos y grados de dificultad que los he seleccionado para aquellos que se preparan para esta competencia.

PROBLEMA
Determinar la ecuación del lugar geométrico de los puntos de donde se debe dejar caer una partícula, para que esta, después de chocar elásticamente con el plano inclinado, ingrese por la canaleta delgada mostrada en la figura.

Para este problema, la ecuación cartesiana de la trayectoria es:

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PROBLEMA
Una esferilla se deja en libertad de movimiento de la parte superior de un plano inclinado. Si esta recorre una distancia e hasta que choca elásticamente con la superficie horizontal, determinar el máximo valor que puede tomar el número n. Desprecie todo tipo de rozamiento.

Para este problema, el máximo valor de n, y el correspondiente ángulo θ, es:

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PROBLEMA
La figura muestra un sistema que rota alrededor de un eje vertical con una velocidad angular constante ω. Si un manguito de masa m se encuentra insertado en una guía horizontal y unido a un resorte de constante K, determinar la frecuencia de oscilación de esta respecto de su posición de equilibrio. Desprecie todo tipo de rozamiento.

Para este problema, el período de oscilación del manguito es:

Olimpiada Nacional de Física

La Sociedad Peruana de Física (SOPERFI) convoca a los jóvenes peruanos menores de 18 años de nivel secundaria de colegios estatales o privados del país a participar a la OLIMPIADA NACIONAL DE FISICA 2012 (ONF 2012).

ACTIVIDAD	FECHAS
Convocatoria	16 de abril del 2012
Inscripción	24 de abril al 18 de mayo
Prueba de calificación	19 de mayo
Desarrollo de Taller Capacitación	junio-julio
Prueba para clasificar al campeón	21 de julio
Publicación del cuadro de méritos y premiados de la Olimpiada Nacional	24 de julio
Ceremonia de premiación de la Olimpiada Nacional de Física	04 de agosto

Temario:

• Unidades de medida
• Vectores
• Mecánica de partículas
• Mecánica de solido rígido
• Mecánica de fluidos
• Electrostática
• Electromagnetismo

Mas información:

• Sociedad Peruana de Física
• Matematicas y Olimpiadas

Consultas online:

• Facebook: Hugo Luyo (trainer)
• Mathematicorum  y Yo

Variación de energía en un péndulo doble

Hace unas horas, viendo un paper en donde se estudia el caso de un péndulo doble, como un ejemplo de un sistema físico que puede exhibir un comportamiento caótico, se me ocurrió el siguiente problema.

PROBLEMA
Un péndulo doble, que consta de dos esferillas A y B de masa m cada una unidas por una barra de longitud L, y este sistema a su vez se encuentra articulado con otra barra de la misma longitud, se encuentra describiendo un movimiento en un plano vertical alrededor de un eje horizontal que pasa por O. Si cuando B pasa por una posición extrema horizontal, las energías cinéticas de A y B se encuentran en la relación de 25 a 36, y cuando pasa por una posición extrema vertical, sus respectivas energías cinéticas se encuentran en la relación de 9 a 25, siendo en ese instante el ángulo formado por las barras de 90^o, determinar en cuanto varía la energía potencial gravitatoria del sistema en este proceso. Despreciar la masa de las barras y considerar g: aceleración de la gravedad.

A continuación un video en donde se aprecia el movimiento caótico que describe un péndulo de estas características, con la única diferencia que una barra es mas larga que la otra.

Desde hace bastantes años se conocen los sistemas caóticos, esos donde por muy bien que conozcamos el sistema y cómo está ahora mismo, no podemos predecir cómo va a estar en un instante futuro suficientemente lejano, como sucede por ejemplo con las predicciones del tiempo.

En la siguiente animación podemos ver cómo, para dos osciladores que comienzan prácticamente igual, al cabo de un tiempo experimentan movimientos distintos (hasta el segundo 7 no se “desdobla” el movimiento de los dos).

Fuente

La siguiente figura muestra un dispositivo que es un péndulo doble de masa distribuida que consiste de dos placas metálicas cuadradas unidas por un eje que pasa cerca de cada una de sus esquinas. Un pésdulo doble como este muestra un complejo comportamiento dinámico, incluyendo el caos.

Fuente

Problema péndulo doble

Hace unas horas mi colega Erico Palacios del famoso blog Matemática y Olimpiadas nos comentó que el siguiente problema había sido propuesto en un "concurso de becas" de una academia de nuestro medio.

El problema es el siguiente:

PROBLEMA
El punto A de suspensión del péndulo doble realiza oscilaciones con pequeña amplitud en la dirección horizontal. ¿Cuál debe ser el período de las oscilaciones de este punto de suspensión A para que el hilo superior siempre permanezca en posición vertical? Desprecie todo tipo de rozamiento.

Resolución

Creo que resulta obvio que, debido a que el hilo superior siempre debe permanecer en posición vertical, los movimientos oscilatorios del punto A y de la esferilla de masa M (esferilla M) deben ser idénticos. Lo que no resulta tan óbvio es que los períodos de oscilación de M y m deban ser iguales. Esto se aclara analizando el movimiento del sistema M + m respecto de su centro de masas (CM), que es un movimiento de rotación pura alrededor de este punto. Es mas, de esto se concluye que los movimientos oscilatorios que describen los puntos M y m respecto de la Tierra deben estar desfasados 180^o pero tener el mismo período (Fig 1).

Para determinar el período de oscilación del sistema vamos a analizar la proyección horizontal del movimiento del sistema respecto de su centro de masas CM y vamos a hacer una analogía entre el movimiento del sistema mostrado y el movimiento de un sistema formado por dos esferillas también de masas m y M pero ahora unidos por un resorte de constante k y longitud natural L (Fig 2).