jueves, 22 de marzo de 2012

Problemas de equilibrio: academia Cesar Vallejo

Hace unas horas unos alumnos del ciclo semestral de la academia Cesar Vallejo, me consultaron un par de problemas de equilibrio que merece la pena publicar su resolución.
PROBLEMA
Una esfera lisa y homogénea de 7 kg se encuentra en reposo. Determine el módulo de la fuerza que ejerce la superficie curva sobre ella. (g=10 m/s2).
Resolución
Este problema es similar en su concepción a un problema que resolví en un post anterior, que también era de la academia Cesar Vallejo.
Primero, debemos derivemos la función continua para determinar la pendiente de la recta tangente a la curva LT que representa geométricamente la función. Aplicando la regla de derivación para potencias tenemos:
De esto se concluye que la tangente del ángulo θ, que forma la recta tangente LT a la superficie con la horizontal, en el punto cuya abscisa es x = 1, es 3/4 (tan θ = 3/4).
Por otro lado, como la pendiente de la recta que define el plano inclinado es -3/4, se concluye que la tangente del ángulo ε es 3/4 (tan ε = 3/4), y por tanto θ = ε ≈ 37o.
A continuacoón, construyamos el diagrama de cuerpo libre de la esfera en equilibrio mecánico, teniendo presente que como sobre esta actúan tres fuerzas, estas deben ser concurrentes (observe que ambas fuerzas de normal son perpendiculares a sus respectivas superficie de apoyo).
Finalmente, a partir del triángulo de fuerzas formado, se deduce que: N1 = N2 = 43,75 newton.


PROBLEMA
Una varilla lisa y homogénea de longitud 2L se apoya en el borde de una copa semiesférica de radio R. Para qué valores de L la varilla se mantiene en la posición mostrada.
Resolución
Resolveré este problema usando criterios geométricos, como lo expuse en un post anterior.
Hagamos DCL de la barra en equilibrio, teniendo en cuenta que las tres fuerzas que actúan sobre esta deben ser concurentes (concurren en el punto P).

Observe que las fuerzas de reacción en los puntos de contacto deben ser normales a las superficies de apoyo.
A partir de esto, resolveremos el problema a partir de consideraciones geométricas.
Como el segmento OT es horizontal, y la longitud de los segmentos OT y OQ son iguales al radio de la circunferencia, se demuestra que el triángulo OPT es isósceles y por tanto O es punto medio de PQ.

Del triángulo PQS mostrado se deduce que:

Resolviendo esta ecuación cuadrática, respecto de cos θ, tenemos que:

El mínimo valor del ángulo θ (0o) se dará cuando:

De esto se deduce que L = 2 R. Conforme la longitud de la varilla disminuye, sin que el radio R cambie, el ángulo θ irá disminuyendo. El máximo valor θ se dará cuando el extremo superior de la varilla coincida con el borde del casquete.

Del gráfico adjunto se deduce que cos θ = L/R. Reemplazando esto en la solución para cos θ obtenida previamente tenemos:

lunes, 19 de marzo de 2012

Libro para descargar: Las ecuaciones de Maxwell


Como comente en un post anterior, las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que describen por completo los fenómenos electromagnéticos en un solo cuerpo conceptual unificado denominado teoría electromagnética clásica.
En palabras de Richard Feynman,
Desde una perspectiva a largo plazo de la historia del mundo –vista, por ejemplo, dentro de diez mil años–, no puede quedar duda de que el suceso más significativo del siglo XIX será considerado el descubrimiento por parte de Maxwell de las leyes del electromagnetismo.
Pedro Gómez-Esteban González, profesor de Física, Inglés, Tecnología y Ciencias de la Naturaleza en un colegio español y que es el gestor de un blog muy popular que tratas temas de divulgación y actualidad científica o tecnológica (El tamiz), ha escrito un libro titulado Las ecuaciones de Maxwell, bajo una licencia Creative Commons.
El objetivo de este libro es explicar en que consiste cada una de estas ecuaciones sin utilizar matemáticas y es entendible hasta por un lego en Física. Muy recomendable.
Este libro está en formato PDF que pesa 4,4 Mb y consta de156 páginas.
Muchas gracias Pedro.

sábado, 17 de marzo de 2012

El exámen de admisión más difícil del mundo


El Instituto Indio de Tecnología, popularmente conocido como IITs, son un grupo de 16 institutos autónomos de ingeniería y tecnología orientado a la educación de alto nivel establecido y declarado de importancia nacional por el parlamento indio.
Usualmente el IIT realiza dos concursos de admisión por año (Abril - Octubre) y este consta de dos pruebas (cada una de tres horas de duración). Ambas tienen tres secciones separadas de Química, Matemáticas y Física. Las preguntas son del tipo "objetivas" y este es considerado uno de los examenes de admisión a una universidad mas difíciles del mundo.
Como se puede apreciar en este documento el silabus de los cursos de física y química son mas o menos similares al silabus de admisión a la Universidad Nacional de Ingeniería, pero los de matemáticas incorporá tópicos de cálculo diferencial e integral.
Como muestra, aqui he seleccionado alguno de los problemas propuestos en la parte de Física.
PROBLEMA
Observa el dibujo en la figura en el que se ha dibujado con tinta una línea de grosor uniforme. La masa de tinta utilizada para dibujar cada uno de los dos círculos interiores, y cada uno de los dos segmentos de línea es m. La masa de la tinta usada para dibujar el círculo exterior es 6m. Las coordenadas de los centros de las diferentes partes son círculo externo (0, 0), el círculo interno de la izquierda (-a, a), el círculo interior de la derecha (a, a) la línea, línea vertical (0, 0) y horizontal (0, -a). La coordenada y del centro de masa de la tinta en este dibujo es.
A) a/10 B) a/8 C) a/12 D) a/3
PROBLEMA
Dos pequeñas partículas de igual masa empiezan a moverse en direcciones opuestas desde un punto A describiendo una órbita circular en un plano horizontal. Sus rapideces tangenciales son v y 2v, respectivamente, como se muestra en la figura. Entre las colisiones, las partículas se mueven con rapideces constantes. Después de cuántas colisiones elásticas, excepto que en A, estas dos partículas volverá a alcanzar el punto A?
A) 4 B) 3 C) 2 D) 1
PROBLEMA
Una bola se deja caer desde una altura de 20 m por encima de la superficie de agua en un lago. El índice de refracción del agua es 4/3. Un pez en el interior del lago, en la línea de caída de la bola, está mirando a la pelota. En el instante en que el balón se encuentra a 12,8 m sobre la superficie del agua, la velocidad con que pez ve que se mueve la pelota es (g = 10 m/s2)
A) 9 m/s B) 12 m/s C) 16 m/s D) 21,23 m/s
PROBLEMA
Tres experimentos de efecto fotoeléctrico se realizan con tres placas de metal diferentes p, q, r que tienen una función de trabajo φp = 2,0 eV, φq = 2,5 eV y φr = 3,0 eV, respectivamente. Un haz de luz que contiene longitudes de onda de 550 nm y 350 nm con intensidades iguales ilumina cada una de las placas. La correcta I-V gráfico para el experimento es.
PROBLEMA
Un trozo de alambre está doblado en forma de una parábola y = kx2 (eje vertical) con una cuenta de masa m insertado en ella. La cuenta, que puede deslizarse sobre el alambre sin fricción, se mantiene en el punto más bajo de la parábola cuando el alambre está en reposo. De pronto el alambre acelera en dirección paralela al eje X con una aceleración constante a. La distancia de la nueva posición de equilibrio de la cuenta, donde la cuenta puede permanecer en reposo con respecto al cable, respecto del eje Y es (considerar xo = a/(gk)).
A) xo B) xo/2 C) 2xo D) xo/4
PROBLEMA
Una pequeña burbuja esférica de gas ideal monoatómico (k = 5/3) está atrapado dentro de un líquido de ρl densidad (ver figura). Suponiendo que la burbuja no intercambia el calor con el líquido y asumiendo que esta contiene n moles de gas, que la temperatura del gas cuando la burbuja está en el fondo es To, que la altura del líquido es H y que la presión atmosférica es Po (despreciar la tensión superficial), determinar la temperatura de la burbuja de gas cuando se encuentra a una altura y de la parte inferior.
PROBLEMA
Un pequeño bloque de masa m, que parte del reposo del punto A, se mueve sobre una superficie sin fricción de un plano inclinado, como se muestra en la figura. El ángulo de la pendiente cambia de repente de 60° a 30° en el punto B. Suponiendo que la colisión entre el bloque y el plano inclinado es totalmente inelástica, la velocidad del bloque en el punto B inmediatamente después de golpear la segunda pendiente es (g = 10 m/s2).
Cada examen dura 3 horas, consta de tres partes (Química, Física y Matemáticas) y en promedio vienen 70 preguntas (el mismo número de preguntas para cada parte). Cada una de estas partes tiene 4 secciones y alguna de estas secciones se considera puntos en contra por respuesta errada El puntaje máximo que se puede obtener es de 240 puntos.
Aqui les dejo unos enlaces para que descargen las pruebas de admisión de los últimos cinco años, con su respectivos solucionarios oficiales.

martes, 13 de marzo de 2012

Equilibrio de una barra sobre una superficie cilíndrica

Hace unos día me alcanzaron este problema de equilibrio mecánico propuesto en su material de un ciclo semestral de la academia Cesar Vallejo, que me causó curiosidad porque la única manera práctica de resolverlo es aplicando la interpretación geométrica de la derivada de una función, que es un concepto matemático que según el prospecto de admisión a la Universidad Nacional de Ingeniería (UNI) no es tema de evaluación.

PROBLEMA
Una barra de 11 kg se encuentra en reposo apoyada sobre una superficie horizontal y en una superficie parabólica lisa. Si la barra está a punto de resbalar sobre la superficie horizontal, determine el módulo de la fuerza que ejerce esta superficie sobre la barra. (g = 10 m/s2)

Resolución

Primero, debemos saber que la derivada de una función continua, evaluada en cierto punto, desde el punto de vista geométrico, nos da el valor numérico de la pendiente de la recta tangente a la curva LT que la representa. Aplicando la regla de derivación para potencias tenemos:

De esto se concluye que la tangente del ángulo θ, que forma la recta tangente LT a la superficie con la horizontal, en el punto cuya abscisa es x = 2, es 2 (tan θ = 2).

Construyamos el diagrama de cuerpo libre de la barra en equilibrio mecánico, teniendo presente que como sobre esta actúan tres fuerzas, estas deben ser concurrentes (observe que la fuerza de reacción normal Fn es perpendicular a la superficie de apoyo).

Por otro lado, se demuestra que cuando una superficie se encuentra a punto de resbalar sobre otra superficie áspera, la tangente del ángulo que forma la reacción total R con la recta normal a dicha superficie es igual al coeficiente de rozamieto estático (μe) entre estas.

A continuación, construyamos el triángulo de fuerzas, considerando R = 10 x.

En el triángulo de fuerzas mostrado se cumple que 8x + 3 x = 110, y por tanto x = 10. De este resultado se concluye que el valor de la reacción R es de 100 N.

lunes, 12 de marzo de 2012

Energía Potencial Hidrostática

En física, un campo de fuerzas es conservativo, si el trabajo realizado por la fuerza que este ejerce sobre una partícula, al desplazarla entre dos puntos cualesquiera, es independiente de la trayectoria seguida entre dichos puntos. Esto es equivalente a decir que, una fuerza es conservativa si el trabajo realizado por dicha fuerza para desplazar una partícula siguiendo una trayectoria cerrada es cero.
El campo de fuerzas asociado a la presión que ejerce un fluido en reposo sobre un cuerpo que se encuentra inmerso en él, cuya resultante se denomina empuje hidrostático, ¿puede ser considerado conservativo?
Un campo de fuerzas que ejerce en todo momento una fuerza constante sobre una partícula que se encuentra inmerso en él, puede ser considerado un campo de fuerzas conservativo, ya que cumple con la definición anterior.
Según esto, la fuerza de empuje hidrostático constante que actúa sobre un cuerpo que se encuentra totalmente sumergido en un fluido es conservativa.
¿Pero también será conservativa en el caso de que un cuerpo macroscópico se desplaza entre los límites de dicho campo de fuerzas? Esto es, si por ejemplo, un cilindro se sumerge gradualmente en un fluido en reposo, ¿la fuerza de empuje hidrostático podrá seguir siendo considerada conservativa?
No es dificil verificar que, en este caso, la fuerza de empuje hidrostático es proporcional a la longitud x que el cilindro se encuentra sumergido en el fluido, y de dirección opuesta, de manera similar a la fuerza elástica en un resorte ideal.
De esto concluimos que:
La fuerza de empuje hidrostático es una fuerza conservativa y por tanto podemos asociar una función de estado a dicha fuerza denominada , de manera similar a la fuerza de gravedad y a la fuerza elástica de un resorte.
Pero este campo de fuerzas es atípico porque no se puede representar por líneas de campo, como es el caso de los campos gravitatorios o magnéticos.
La energía potencial hidrostática que posee un cuerpo parcial o totalmente sumergido en un líquido es igual al producto de la presión hidrostática que soporta el centro de gravedad de la parte del cuerpo que se encuentra sumergido, por el valor de dicho volumen sumergido.

domingo, 11 de marzo de 2012

Efecto Doppler

Muchas veces hemos experimentado que cuando nosotros estamos de pie al lado de una pista y una ambulancia, que emite permanentemente un sonido, se acerca hacia nostros, pasa por nuestro costado y luego se aleja, la frecuencia que percibimos del sonido que emite esta fuente es variable, siendo más agudo cuando la ambulancia se acerca, y más grave cuando se aleja. En este caso es el emisor de ondas es el que se mueve, pero el mismo efecto se aprecia cuando es el observador es el que se mueve o se mueven ambos.
Esto es una manifestación del efecto Doppler, (bautizado así en honor a Christian Doppler) y este fenómeno se cumple para ondas sonoras y ondas electromagnéticas.
Este fenómeno se percibe en uno de los siguientes casos.

Caso de fuente en movimiento: Si el observador (punto verde) está en reposo y la fuente sonora (punto rojo) en movimiento.
  • Cuando la fuente de ondas se acerca al observador, la frecuencia que éste mide es mayor que la del emisor.
  • Cuando la fuente de ondas se aleja del observador, la frecuencia que éste mide es menor que la del emisor.
Observe como en este caso el punto verde (que representa al observador) pardadea mas rápido cuando la fuente de ondas se acerca a él que cuando se aleja de él.

Caso de observador en movimiento: Si el observador (punto verde) está en movimiento y la fuente sonora (punto rojo) en reposo.
  • Cuando el observador se acerca a la fuente de ondas, la frecuencia que éste mide es mayor que la del emisor.
  • Cuando observador se aleja de la fuente de ondas, la frecuencia que éste mide es menor que la del emisor.
Observe como en este caso el tambien punto verde (que representa al observador) pardadea mas rápido cuando la fuente de ondas se acerca a él que cuando se aleja de él.
La ecuación general del efecto Doppler, que incluye todas las posibilidades de movimiento de la fuente de sonido y el observador (relativas al medio) es:
donde f' es la frecuencia del sonido que mide el observador, f es la frecuencia original del sonido, v es la velocidad del sonido en el medio, vo es la velocidad del observador y vf es la velocidad con que se mueve la fuente.
El uso de los signos en esta ecuación será el siguiente. Se usarán los signos superiores del doble signo ± cuando el observador o la fuente se acercan y los inferiores cuando el observador o la fuente se alejan.

A continución veamos algunos ejercicios de aplicación.
EJERCICIO 1
La sirena de una ambulancia tiene una frecuencia de 1500 Hz, estando en reposo. ¿Que frecuencia detectará un observador en reposo, si la ambulancia se mueve a 28 m/s con dirección a él?
Resolución
En este caso f = 1500 Hz, vf = 28 m/s, vo = 0 y como la fuente de sonido se acerca al observador se usará en el denominador el signo negativo.
Observe que la frecuencia del sonido que percibe el observador es mayor que la frecuencia de la fuente porque esta se acerca al observador.

EJERCICIO 2
Una fábrica a la hora del almuerzo emite un sonido con una frecuencia de 280 Hz. Si un auto se aleja de esta con una rapidez de 14 m/s ¿cuál será la frecuencia que el conductor percibirá este sonido?
Resolución
En este caso f = 280 Hz, vf = 0, vo = 14 y como el observador se aleja de la fuente se usará en el numerador el signo negativo.
Observe que la frecuencia del sonido que percibe el observador es menor que la frecuencia de la fuente porque este se aleja de la fuente.

EJERCICIO 3
Se considera una fuente sonora de frecuencia 60 Hz, con velocidad de 85 m/s, y un observador con velocidad de 85 m/s sobre la misma recta. ¿Qué frecuencia percibe el observador, si este y la fuente se acercan uno a la otra?
Resolución
En este caso f = 60 Hz, vf = 85 m/s, vo = 85 m/s y como ambos se acercan mútuamente se usará en el numerador el signo positivo y en denominador el signo negativo.
Observe que la frecuencia del sonido que percibe el observador es mayor que la frecuencia de la fuente porque ambos, observador y fuente, se acercan mútuamente.

EJERCICIO 4
Se considera una fuente sonora de frecuencia 60 Hz, con velocidad de 85 m/s, y un observador con velocidad de 85 m/s sobre la misma recta. ¿Qué frecuencia percibe el observador, si él y la fuente se alejan uno de la otra?
Resolución
En este caso f = 60 Hz, vf = 85 m/s, vo = 85 m/s y como ambos se alejan mútuamente se usará en el numerador el signo negativo y en denominador el signo positivo.
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domingo, 4 de marzo de 2012

Preparándose para la Olimpiada de Física 2012

4ta entrega de problemas de preparación del Club Richard Feynman, que dirige nuestro amigo Hugo Luyo Sanchez (Mathematicorum y Yo), con miras a la Olimpiada de Física del presente año.

Descargar documento

De este bloque de problemas, el siguiente es digno de resaltar:

Una línea de campo eléctrico emerge desde una carga puntual positiva +q1, bajo un ángulo α respecto de la línea que conecta a esta carga con una carga puntal negativa −q2. ¿Bajo qué ángulo β debería entrar la línea de campo eléctrico a la carga −q2?

Ver resolución