domingo, 23 de enero de 2011

Cálculo de aceleración centrípeta

Hace poco me consultaron este problema que fue propuesto recientemente en un curso de Física I en la universidad nacional de ingeniería UNI, Lima-Perú, que bien merece compartirlo con ustedes.

Un gato G que se mueve con una rapidez constante v1 se mueve en todo momento en la dirección en donde se encuentra un ratón R, que a su vez se mueve rectilíneamente con una rapidez constante v2. Si en el instante que sus velocidades son mútuamente perpendiculares la distancia que los separa es d, determinar la aceleración centrípeta del gato en ese instante.

Antes que nada debemos señalar que debido a que la rapidez del gato no cambia, su aceleración es perpendicular a su velocidad en cada instante (centrípeta).

Para resolver el problema, analicemos el movimiento del gato y del ratón en un intervalo de tiempo t muy pequeño medido desde el instante en que sus velocidades son mútuamente perpendiculares.

En dicho intervalo de tiempo el gato se habrá desplazado una distancia v1t muy pequeña y la dirección de la velocidad del gato habrá cambiado en un ángulo θ muy pequeño (ver figura).

De la figura se aprecia que el lado v1t es igual al producto de d por la tangente del ángulo θ, y, debido a que θ es un ángulo muy pequeño, esto es igual al ángulo θ expresado en radianes:

En la gráfica siguiente se aprecia los vectores velocidad inicial y final del gato en dicho intervalo de tiempo y el vector cambio de velocidad ΔV.

La aceleración de un móvil en un instante de tiempo (aceleración instantánea) se define como la razón de cambio del vector cambio de velocidad ΔV, en un intervalo de tiempo t muy pequeño posterior a dicho instante, respecto de dicho intervalo de tiempo t. Matemáticamente:

En un triángulo isósceles (ver figura superior), cuando el ángulo desigual θ es pequeño se cumple que la longitud del lado desigual es aproximadamente la del lado igual por el seno del ángulo θ, que a su vez es igual al ángulo θ expresado en radianes.

De estas ecuaciones se deduce que:



A continuación les propongo una variante de este problema.

Tres móviles se mueven con una rapidez constante v en un plano de modo tal que en todo momento se encuentran situados en los vértices de un triángulo equilátero y el 1ro se mueve hacia el 2do, el 2do hacia el 3ro y el 3ro hacia el 1ro. Determinar el módulo de la aceleración centrípeta de una de ellas en el instante que el lado del triángulo es L.

La respuesta de este problema es √3 v2/2L. Inténtalo!



Otro problema relacionado que también resulta interesante es el siguiente./p>

Un móvil A se mueve con una rapidez constante v dirigiéndose siempre hacia otro móvil B que se mueve rectilíneamente con una rapidez 2v. Determinar el módulo de su velocidad relativa en el instante que la distancia que las separa es mínima.

La respuesta de este problema es v√3. Inténtalo!

domingo, 16 de enero de 2011

Problemas de radiación electromagnética y efecto fotoeléctrico

UNMSM 2009
Si una fuente láser emite una luz coherente de color naranja en la frecuencia de 5 x 1014 Hz, ¿cuál será la longitud de onda asociada a ese color? c = 3 x 108 m/s

La respuesta de este problema es 6000 Å.

UNMSM 2010
La longitud de onda asociada a un fotón de rayos gamma es 1,11 x 10-15 m, ¿Cuál es su energía? Considere h = 6,6 x 10-34 J.s y c = 3 x 108 m/s.

La respuesta aproximada de este problema es 1,8 x 10-10 J.

UNMSM 2009
¿Cuál es la longitud de onda máxima que produce una emisión fotoelectrónica si la función de trabajo del metal es 2,3 eV? (h = 4,141 x 10-15 eV.s)

La respuesta de este problema es 540 nm.

UNMSM 2008
Se desea determinar la función de trabajo de cierta superficie metálica. Cuando usamos una lámpara de mercurio (λ = 546,1 nm), el potencial reterdador de 1,7 V reduce la fotocorriente a cero. Basándose en esta medida ¿cuál es la función de trabajo del metal? (h = 6,626 x 10-34 J.s; 1 eV = 1,6 x 10-19 J; 1 nm = 10-9 m)

La respuesta aproximada de este problema es 0,57 eV.

UNI 2011
Determine aproximadamente el número de fotones por segundo que emite un laser He-Ne de longitud de onda de 632 nm y cuya potencia es de 3 mW. (h = 6,63 x 10-34 J.s; c = 3 x 108 m/s ; 1 nm = 10-9 )

La respuesta de este problema es 95,32 x 1014

UNI 2010
Se tienen tres haces de luz de colores azul, verde y rojo, todos de la misma intensidad. Al efectuar el efecto fotoeléctrico sobre el mismo material, le aplicamos el voltaje de frenado Vf a cada haz de electrones. Señale la gráfica que mejor representa dicho proceso. (R-> rojo; V-> verde; A-> azul)

La respuesta de este pregunta es la alternativa D.

UNI 2010
En la siguiente figura se muestra la variación del potencial de frenado (en voltios) en función de la frecuencia para una misma lámina metálica iluminada con luz visible.Indique la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

I. La mínima energía que requieren los fotoelectrones para escapar con energía cinética cero es 2 eV.

II. Para frecuencias menores que 4,84 x 1014 Hz no hay emisión de fotoelectrones.

III. Para un fotón incidente con frecuencia ν = 12 x 1014 s-1 los fotoelectrones escapan con una energía cinética de 5,1 eV.

La respuesta de este pregunta es VVF.

UNI 2009
En un experimento de efecto fotoeléctrico, se ilumina un cátodo de oro con radiación de frecuencia 3,4 x 1015 Hz. Frente al cátodo se coloca una placa metálica a -1,0 V respecto del cátodo. ¿Cuál es aproximadamente la máxima velocidad con la que un fotoelectrón alcanza la placa?
Función de trabajo del oro: 5,1 eV
Masa del electrón: 9,1 x 10-31 kg
h = 6,63 x 10-34 J.s
1 eV = 1,6 x 10-19 J

La respuesta de este problema es 1,66 x 106 m/s.

UNI 2009
Dadas las siguientes proposiciones con respecto a las características de las ondas electromagnéticas, señale su veracidad (V) o falsedad (F):

I. Los campos eléctricos y magnéticos asociados a una onda electromagnética son perpendiculares a la dirección de propagación y antiparalelos entre si.

II. Un haz de radiación infraroja posee menor energía que uno de radiación visible de la misma intensidad.

III. En el espectro electromagnético se ordena las ondas electromagnéticas según su intensidad.

La 2da afirmación en su momento causó polémica. Desde mi punto de vista esta afirmación es falsa ya que si la intensidad de ámbas radiaciones es la misma, es porque la energía que transportan es la misma (algunos colegas tienen otro punto de vista). Mi respuesta a esta pregunta es VFF.

miércoles, 12 de enero de 2011

Momento angular

El momento angular L, también denominado momentum angular o momento cinético, es una magnitud física vectorial que desempeña en las rotaciones un papel análogo al momento lineal en las traslaciones.
En la mecánica clásica el módulo del vector momento angular de una partícula en movimiento respecto de un punto de referencia O, es el producto de su momento lineal p = m.v por la distancia d del punto O a la línea de acción de su velocidad. Matemáticamente:
La dirección del vector L es perpendicular al plano definido por la línea de acción de la velocidad y el punto de referencia O y su sentido se determina por la regla de la mano derecha.
Según esto, el vector momento angular L de una partícula respecto de un punto de referencia O, se puede expresar matemáticamente como el producto vectorial de su vector posición r respecto de O por su momento lineal p.
En el Sistema Internacional de Unidades el momento angular se mide en kg·m²/s.
Se demuestra que si sobre una partícula o cuerpo rígido, las fuerzas que actúan sobre él generan un momento o torque neto τ no nulo, su momento angular varía cumpliéndose que este torque es igual a la rapidez con que varía su momento angular L. Matemáticamemte, el torque neto sobre un cuerpo es la derivada temporal del momento angular, es decir:
De esto se deduce que si las fuerzas que actúan sobre un cuerpo o partícula generan un torque neto nulo, su momento angular permanecerá constante. En este caso se dice que su momento angular se conserva.
Hay muchos fenómenos en los cuales se conserva el momento angular de un cuerpo o una partícula. Por ejemplo:
• Una partícula que se mueve libremente con velocidad constante (Fig 1).
• Una partícula que unido a una cuerda se mueve describiendo un movimiento circular uniforme (Fig 2).


• Una partícula que unido a un resorte se mueve describiendo un movimiento curvilineo(Fig 3).
• Un planeta describiendo un movimiento elíptico alrededor del Sol (Fig 4).




domingo, 9 de enero de 2011

Movimiento parabólico con choque elástico

Hace unos días me propusieron este problema que me pareció interesante y comparto con ustedes.

Un proyectil es lanzado horizontalmente desde el punto A del plano inclinado mostrado en la figura con una rapidez Vo = 18 m/s y después de chocar elásticamente en la pared vertical llega al punto B. Determinar el tiempo que tarda en ir de A hacia B.

Cuando un cuerpo efectúa un choque elástico contra una pared, su energía cinética antes y después del choque no cambia, esto es, no cambia el módulo de su velocidad, solo cambia su dirección.

Por otro lado, si asuminos que sobre el cuerpo no actúa ninguna fuerza en la dirección longitudinal de la pared (no existe fricción), el ángulo que forma la velocidad con la pared, antes y después del choque son iguales. Esto implica que sus velocidades antes y después del choque son simétricas respecto de la pared.

La consecuencia de esto es que el movimiento del cuerpo después del choque (tramo PB) es equivalente al movimiento que tendría si este no hubiese chocado con la pared (tramo PB').

Analizaremos el movimiento del cuerpo en el tramo APB'.

De la geometría del problema:

Sea t el tiempo transcurrido desde que el instante que el proyectil es lanzado hasta el instante que choca en el punto B'.

Como el movimiento horizontal es un MRU se cumple que:

Como el movimiento vertical es un MVCL, partiendo del reposo, se cumple que:

Resolviendo estas ecuaciones se deduce que el tiempo es t = 4 s.


A continuación les propongo una variante de este problema que también resulta interesante.

Con qué rapidez debe lanzarse horizontalmente un proyectil desde el punto A del plano inclinado mostrado en la figura para que después de efectuar tres choques elásticos regrese al punto A.

La respuesta de este problema es 100 m/s. Inténtalo!

Otro problema relacionado es el siguiente.

Una pelota se deja caer desde una altura h = 10 m y luego de moverse libremente choca elásticamente en el plano inclinado mostrado. Determinar la distancia h.

La respuesta de este problema es 48 m. Inténtalo!

domingo, 2 de enero de 2011

Energía, potencia e intensidad de una onda

Toda onda transporta energía de un lugar a otro en el espacio, pero conviene recordar que cada una de las partículas del medio donde se propaga se encuentra oscilando en torno a su posición de equilibrio.

¿Cuanta energía transporta una onda transversal en una cuerda tensa? Consideremos el caso de una onda transversal que se propaga a través de una cuerda de masa m y longitud L. Los puntos P, Q y R representan tres partículas de masa Δm cada uno.

Cada punto de la cuerda se mueve verticalmente describiendo un MAS. En el instante mostrado la energía de la partícula P es puramente potencial, ya que en ese instante se encuentra en reposo. La energía de la partícula Q es íntegramente cinética, ya que en ese instante no posee energía potencial, y la de R es en parte cinética y en parte potencial. Pero cada uno de estas partículas posee la misma energía mecánica. Si asumimos que la velocidad que posee la partícula Q en ese instante es Vmax, la energía que posee cada una de las partículas de masa Δm es:

Sumando las energías de todas los segmentos pequeños, y teniendo presente que Vmax = ω.R, tenemos que la energía de oscilación es:

De aqui podemos concluir que:

La energía de toda onda armónica es directamente proporcional al cuadrado de la frecuencia y al cuadrado de la amplitud.

Del mismo modo que se define potencia p en mecánica, se define en ondas.

La potencia de una onda es la rapidez con que esta transmite energía y operativamente se define como la razón entre la energía E que transporta la onda en un cierto tiempo y el intervalo de tiempo considerado t.

En el caso de una onda transversal en una cuerda tensa, su potencia se determina a partir de la expresión de la energía de la onda obtenida anteriormente considerando que la masa m de la cuerda es el producto de su densidad lineal de masa μ y la longitud L de la cuerda, y esto último es el producto de la velocidad de fase v por el tiempo t que tarda la onda en propagarse de un extremo a otro (L = vt). A partir de esto se deduce que la potencia de la onda que se:



El debilitamiento de las ondas al propagarse

Recordemos la definición de intensidad de una onda:

La intensidad de una onda es la energía que pasa en cada unidad de tiempo (potencia) a través de una unidad de superficie colocada en dirección perpendicular a la dirección de propagación.

En esta fórmula I es la intensidad (W/m2), p es la potencia de la onda (W), S es el área de la superficie (m2).

Las ondas se debilitan al propagarse, lo que significa que su intensidad disminuye. ¿Por qué ocurre este debilitamiento? Hay dos causas que hacen que esto se produzca: la absorción y la atenuación.

La absorción o amortiguamiento se produce debido a que la energía mecánica se degrada en forma de calor cuando se propaga en medios elásticos.

La atenuación de una onda se da solo en ondas de dos o tres dimensiones que se propaga a través de un medio homogéneo e isótropo. No se produce atenuación en ondas de una dimensión, como la onda en una cuerda tensa.

Para ondas de dos dimensiones, como las ondas en el agua, la energía es transmitida a través de una perturbación de un punto a otro en dos direcciones formándose circunferencias cuya radio va aumentando progresivamente. Para ondas de tres dimensiones, como por ejemplo una onda sonora, la energía es transmitida a través de una perturbación de un punto a otro en tres direcciones formándose superficies esféricas cuya área va aumentando progresivamente.

En ambos casos, a medida que avanza la onda, la energía inicial se reparte cada vez entre mas partículas que la perturbación va encontrando en su camino. Esto hace que la amplitud de la onda disminuya a medida que la perturbación se aleja del foco emisor. Veamos algunos ejemplos.

Si la onda viaja por un espacio de sección constante (como por ejemplo un resorte cuyas espiras son todas iguales), la intensidad I de la onda también permanece constante (no hay atenuación).

Esto es muy razonable ya que toda la energía que recibe cada espira se la entrega pura y exclusivamente a la espira vecina, sin importar cuán lejos está la espira que consideres.

Si la onda viaja por una superficie (por ejemplo ondas en el agua), cuanto más alejado se halle una posición del foco emisor, menor será la intensidad de la onda en esa posición. La intensidad es inversamente proporcional a su distancia r al punto en donde se originó la onda.

I ~ P / r

Lo cual es muy razonable, ya que el reparto de la energía debe hacerse entre las posiciones equidistantes sobre la superficie de propagación, o sea, circunferencias... que crecen con el radio.

Si la onda viaja por espacio tridimensional (por ejemplo la luz de una estrella), cuanto más alejado se halle una posición del foco emisor, menor será la intesidad de la onda en esa posición. La intensidad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r al punto en donde se originó la onda.

I ~ P / r²

Lo cual es muy razonable, ya que el reparto de la energía debe hacerse entre todos loa punto que equidistan del centro, o sea, esferas ... cuya superficie crece proporcionalmente al cuadrado del radio.

Lo mismo sucede en el caso de ondas electromagnéticas como la luz visible. La percepción de una farola situada en un punto en el campo va disminuyendo hasta que nuestro ojo ya no es capaz de percibir los fotones que le llegan desde esa farola. El número de fotones que parten de la farola es constante, pero deben repartirse entre todos los puntos de superficies esféricas en las cuales nos encontramos. Si nos alejamos, el número de fotones percibidos por nuestro ojo va siendo cada vez menor, hasta que nuestro ojo no percibe la señal luminosa.