lunes, 30 de abril de 2012

Olimpiada Nacional de Física

La Sociedad Peruana de Física (SOPERFI) convoca a los jóvenes peruanos menores de 18 años de nivel secundaria de colegios estatales o privados del país a participar a la OLIMPIADA NACIONAL DE FISICA 2012 (ONF 2012).

ACTIVIDADFECHAS
Convocatoria16 de abril del 2012
Inscripción24 de abril al 18 de mayo
Prueba de calificación19 de mayo
Desarrollo de Taller Capacitaciónjunio-julio
Prueba para clasificar al campeón21 de julio
Publicación del cuadro de méritos y premiados de la Olimpiada Nacional24 de julio
Ceremonia de premiación de la Olimpiada Nacional de Física04 de agosto


Temario:
  • Unidades de medida
  • Vectores
  • Mecánica de partículas
  • Mecánica de solido rígido
  • Mecánica de fluidos
  • Electrostática
  • Electromagnetismo

Mas información:

martes, 10 de abril de 2012

Variación de energía en un péndulo doble

Hace unas horas, viendo un paper en donde se estudia el caso de un péndulo doble, como un ejemplo de un sistema físico que puede exhibir un comportamiento caótico, se me ocurrió el siguiente problema.
PROBLEMA
Un péndulo doble, que consta de dos esferillas A y B de masa m cada una unidas por una barra de longitud L, y este sistema a su vez se encuentra articulado con otra barra de la misma longitud, se encuentra describiendo un movimiento en un plano vertical alrededor de un eje horizontal que pasa por O. Si cuando B pasa por una posición extrema horizontal, las energías cinéticas de A y B se encuentran en la relación de 25 a 36, y cuando pasa por una posición extrema vertical, sus respectivas energías cinéticas se encuentran en la relación de 9 a 25, siendo en ese instante el ángulo formado por las barras de 90o, determinar en cuanto varía la energía potencial gravitatoria del sistema en este proceso. Despreciar la masa de las barras y considerar g: aceleración de la gravedad.
A continuación un video en donde se aprecia el movimiento caótico que describe un péndulo de estas características, con la única diferencia que una barra es mas larga que la otra.
Desde hace bastantes años se conocen los sistemas caóticos, esos donde por muy bien que conozcamos el sistema y cómo está ahora mismo, no podemos predecir cómo va a estar en un instante futuro suficientemente lejano, como sucede por ejemplo con las predicciones del tiempo.
En la siguiente animación podemos ver cómo, para dos osciladores que comienzan prácticamente igual, al cabo de un tiempo experimentan movimientos distintos (hasta el segundo 7 no se “desdobla” el movimiento de los dos).
La siguiente figura muestra un dispositivo que es un péndulo doble de masa distribuida que consiste de dos placas metálicas cuadradas unidas por un eje que pasa cerca de cada una de sus esquinas. Un pésdulo doble como este muestra un complejo comportamiento dinámico, incluyendo el caos.

domingo, 8 de abril de 2012

Problema péndulo doble

Hace unas horas mi colega Erico Palacios del famoso blog Matemática y Olimpiadas nos comentó que el siguiente problema había sido propuesto en un "concurso de becas" de una academia de nuestro medio.
El problema es el siguiente:
PROBLEMA
El punto A de suspensión del péndulo doble realiza oscilaciones con pequeña amplitud en la dirección horizontal. ¿Cuál debe ser el período de las oscilaciones de este punto de suspensión A para que el hilo superior siempre permanezca en posición vertical? Desprecie todo tipo de rozamiento.
Resolución
Creo que resulta obvio que, debido a que el hilo superior siempre debe permanecer en posición vertical, los movimientos oscilatorios del punto A y de la esferilla de masa M (esferilla M) deben ser idénticos. Lo que no resulta tan óbvio es que los períodos de oscilación de M y m deban ser iguales. Esto se aclara analizando el movimiento del sistema M + m respecto de su centro de masas (CM), que es un movimiento de rotación pura alrededor de este punto. Es mas, de esto se concluye que los movimientos oscilatorios que describen los puntos M y m respecto de la Tierra deben estar desfasados 180o pero tener el mismo período (Fig 1).
Para determinar el período de oscilación del sistema vamos a analizar la proyección horizontal del movimiento del sistema respecto de su centro de masas CM y vamos a hacer una analogía entre el movimiento del sistema mostrado y el movimiento de un sistema formado por dos esferillas también de masas m y M pero ahora unidos por un resorte de constante k y longitud natural L (Fig 2).

sábado, 7 de abril de 2012

Período de oscilación de un sistema físico

Hace unas horas mi colega Oswaldo Farro propuso un problema de Física en el face, que fue propuesto en un examen selectivo regional en la Olimpiada Rusa.

El problema es el siguiente:

PROBLEMA
En un cilindro de radio R se coloca un tabla de longitud 2L y masa despreciable, en cuyos extremos se han fijado dos esferillas de masa m cada una. Determinar el periodo de las pequeñas oscilaciones del sistema.

Resolución

Primero debemos señalar que cuando el sistema formado por la tabla y las esferillas oscila, siempre hay un torque recuperador que lo regresa a la posición a la posición horizontal, esto es, a la posición en donde la tabla si es que estuviera en reposo estaría en equilibrio. A partir de ahora nos referiremos a este sistema físico simplemente como "sistema".

Para oscilaciones pequeñas, este movimiento oscilatorio es análogo a un movimiento armónico simple (MAS) en donde hay una fuerza recuperadora FR que es proporcional a la distancia de alejamiento x de la posición de equilibrio (FR = - kx). El sigo negativo en esta relación es debido a que siempre la fuerza recuperadora FR tiene dirección opuesta al desplazamiento x del cuerpo que oscila respecto de la posición central, como claramente se visualiza en la siguiente animación.

A manera de ilustración, recordemos como se determina el período de oscilación T de un MAS.

Para esto se expresa la fuerza recuperadora FR en función de la masa m que oscila, frecuencia angular ω y de la distancia de alejamiento x (para debemos tener en cuenta la 2da ley de Newton y recordar que la aceleración del MAS es -ω2x), se reemplaza en la expresión FR = - Kx, y en esta ecuación se elimina la distancia x .

De aqui recordando que la frecuencia angular ω es igual a 2π/T, se concluye que:

En este caso se debe proceder de manera análoga, pero considerando conceptos de dinámica rotacional, como momento de inercia y la relación torque-aceleración angular.

Bueno, alli vamos.

Como se entiende que la barra rueda sin resbalar sobre el cilindro se cumple la siguiente relación geométrica.

Hagamos DLC del sistema y apliquemos la relación torque-aceleración angular, respecto del punto P.

A partir de esto, y considerando que para ángulos θ (en radianes) pequeños el producto es también despreciable y la función coseno es prácticamente 1, se deduce que:

Pero asumiento que este movimiento rotacional oscilatorio es análogo al MAS, debemos suponer que también en este caso la aceleración (angular) es proporcional al alejamiento (ángular) de su posición de equilñibrio, es decir:

Reempalzando esto en la relación anterior se deduce que:

jueves, 5 de abril de 2012

Relación de ángulos formado por una línea de campo eléctrico

Este problema lo he propuesto en diferentes foros en donde participo y como comenta acertadamente nuestro amigo Hugo Luyo Sanchez (Mathematicorum y Yo), que es quien lo ha dejado como tarea a su grupo de preparación Richard Feynman, este proviene de la olimpiada rusa del año 1985 y también fue propuesto hace un par de años en Brasil en su examen selectivo para las olimpiadas de Física (nivel intermedio).

El problema es el siguiente:

PROBLEMA
Una línea de campo eléctrico emerge desde una carga puntual positiva +q1, bajo un ángulo α respecto de la línea que conecta a esta carga con una carga puntal negativa −q2. ¿Bajo qué ángulo β debería entrar la línea de campo eléctrico a la carga −q2?

Resolución

Primero debemos señalar que no todas las líneas de campo, que representan este campo electrostático, que parten de la carga eléctrica +q1 acaban en la carga −q2 (existen algunas que acaban en el infinito).

En el caso de un sistema formado por dos cargas eléctricas de signo contrario, se cumple que la cantidad de líneas de campo que sale o que entra a una carga eléctrica es directamente proporcional al valor absoluto de dicha carga, es decir se cumple que:

siendo N1 y N2 el número total de líneas de campo que salen de +q1 o ingresan a −q2 respectivamente. Esto se concluye de la interpretación geométrica de la ley de Gauss.

Observe que en el sistema de cargas mostrado en la figura adjunta la relacion de cargas es de 2 a 1 y el número de líneas que sale de la carga positiva y que entra a la carga negativa tambien se encuentra en la misma relación (de la carga positiva salen 16 líneas y a la carga negativa entran 8 líneas).

Es importante señalar que las líneas de campo se distribuyen en todo el espacio, aunque aqui están representadas en el plano, y que a grandes distancias, comparadas con la distancia de separación entre las cargas, las líneas de campo que representan este campo eléctrico son aproximadamente radiales como si hubieran sido generadas por una sola carga puntual que posee una carga igual a la carga neta del sistema.

Para determinar una relación entre los ángulos genéricos α y β debemos asumir que todas las líneas se campo que salen o que entran a una superficie esférica imaginaria de radio R pequeño, en cuyo centro se encuentra cada carga puntual, se encuentran uniformemente espaciadas en toda su superficie.

En la región cercana a cada una de las cargas solo el campo generado por esta es apreciable (la influencia de la otra carga se desprecia).

Consideremos un ángulo sólido en la esfera de la izquierda en donde el ángulo plano que lo define es 2α y que las N líneas que salen del casquete esférico que lo subtiende ingresan a la esfera de la derecha a través de un ángulo sólido en donde el ángulo plano que lo define es 2β.

Como las líneas de campo se encuentran uniformemente distribuidas a lo largo de toda la superficie se cumple que el número de líneas de campo que entran o salen de la superficie esferica es directamente proporcional al área de la superficie esférica que consideremos.

Para este debemos recordar que el área de la superficie de un casquete esférico es igual a:

siendo R el radio de la esfera y h la distancia radial del centro del casquete a la esfera.

Teniendo presente esto, podemos plantear la siguientes relaciones:

  • Para la 1ra esfera:
  • Para la 2da esfera se deduce que:

De estas relaciones se deduce que:

y teniendo en cuenta la relación escrita al comienzo concluimos que:

domingo, 1 de abril de 2012

Preparándose para la Olimpiada de Física 2012

5ta entrega de problemas de preparación del Club Richard Feynman, que dirige nuestro amigo Hugo Luyo Sanchez (Mathematicorum y Yo), con miras a la Olimpiada de Física del presente año.

optica y ondas