Marcus du Sautoy, profesor de matemáticas de la Universidad de Oxford, ofrece una charla muy interesante sobre la simetría y su relación con los aportes del famoso matemático francés Evariste Galois.
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Vía: Edumate
Todo docente sabe que a veces los alumnos, al resolver un problema de matemática o ciencias, llegan a una respuesta correcta siguiendo un razonamiento incorrecto.
Esto me pasó hace ya varios lustros cuando trabajaba en un centro preuniversitario de universidad particular, año que coincidió con las eliminatorias de un mundial de fútbol.
El protagonista de esta historia es uno de los alumnos que tuve en el aula de ingeniería electrónica de dicho centro preuniversitario, que en esta historia lo llamaremos Ricardo. Él era uno de esos típicos alumnos de clase media, desenfadados, chacoteros y despreocupados por los estudios. Usualmente se sentaba en la última fila y nunca lo vi tomar apuntes de clases.
Recuerdo que en una oportunidad, cuando faltaban pocas semanas para que acabe el ciclo, y mientras me encontraba haciendo mi pizarra, escuche que alguien exclamó secamente la palabra "gol". Cuando volteé la mirada, observé que un grupo de alumnos se aglomeraba alrededor de Ricardo. Ese día jugaba Brasil y Ricardo, que no había querido perderse el partido, había llevado un minúsculo televisor a clases.
Hable con él y luego de disculparse, me prometió esforzarse más en mi curso.
En las últimas semanas de cada ciclo la mayoría de alumnos se esmeran por mejorar las notas que poseen y fue en esas circunstancias que Ricardo se me acerca a pedirme una oportunidad para aumentar sus notas, que no podían ser peores (no había dado varios tests de evaluación y las pocas notas que tenía eran nada alentadoras). Era obvio que la oportunidad para acceder al ingreso directo a través de la Pre era literalmente nula.
En ese contexto le planteo a la clase el siguiente problema.
PROBLEMA
Si las partículas A y B, que son lanzadas simultáneamente de las posiciones indicadas, chocan en el punto P, determinar el ángulo de lanzamiento θ de la partícula B.
El grado de dificultad de este problema es "difícil" debido a su operatividad algebraica (este había sido propuesto en el curso de Física Básica del 1er ciclo de la Universidad Católica de ese año). Para resolver este problema de movimiento parabólico se deben plantear un sistema de 4 ecuaciones con cuatro variables y posteriormente resolverlas.
Lo curioso del caso es que Ricardo me dio la respuesta correcta (θ = 37o) en un santiamén adelantándose a sus compañeros más destacados del aula y lo anecdótico fue el razonamiento que siguió.
Como la partícula A se mueve a lo largo de la recta L1 y la partícula B se mueve a lo largo de la recta L2, estos chocarán en el punto M. Por tanto, recordando triángulos notables, se deduce que el ángulo θ es de 37o.
Δ AMN : __MN = 3L
Δ BMN : __MN = BN.Tg θ___=>__3L = 4L.Tg θ
____________________________θ = 37o
En ese momento para mi era obvio que había llegado a la respuesta correcta siguiendo un camino erróneo, ya que las partículas no se mueven en línea recta sino que siguen una trayectoria parabólica hasta que chocan en el punto P. Le recalqué que estas chocan en el punto P y no en el punto M y que había llegado a la respuesta correcta por mera casualidad. Pero él me replico que había llegado a la respuesta correcta y eso era lo que valía a la hora de un examen.
Como prueba que su procedimiento era erróneo le propuse que resuelva otro problema similar. Para mi era obvio que con su “método” ya no llegaría a la respuesta correcta.
PROBLEMA
Se lanza de manera simultánea dos proyectiles desde una superficie horizontal con velocidades VA = (60; 80) m/s y VB= V(cos θ; sen θ). Si estos chocan a una cierta altura h, determinar el ángulo θ. (AC = 120 m; BC = 20 m)
Ya se imaginarán lo que pasó. Aplicando su método llegó nuevamente a la ¡respuesta correcta!: θ = tan-1(8). Ver la resolución aplicando este método
Esto me causó una profunda impresión. ¿tendría sentido físico lo que estaba haciendo? ¿Y él era conciente de eso?
Ya en mi casa, luego de analizar una serie de casos similares llegó a la siguiente conclusión:
TEOREMA
Si dos cuerpos que se mueven parabólicamente chocan en el aire, también chocarán en ausencia de gravedad.
Esto explica la validez de este procedimiento de resolución.
Este procedimiento es válido en todos los casos, incluso en el caso de que un cuerpo es lanzado parabólicamente y el otro es soltado (en este caso, la dirección de la velocidad de lanzamiento de uno de ellos debe apuntar hacia la posición inicial del cuerpo que se suelta). La única condición es que estos partan simultáneamente y que al final choquen en el aire.
Lo anecdótico de esto es que mi alumno nunca se enteró que había descubierto, sin proponérselo, un método de resolución bastante simple para este tipo de problemas de movimiento parabólico, ya que no asistió al centro preuniversitario la última semana de clases.
A partir de la fecha y periódicamente iré publicando problemas de mi autoría, algunos de los cuales se han hecho conocidos en el tiempo y otros recien ven "la luz del día".
En esta oportunidad les planteo algunos problemas acerca de lugar geométrico.
PROBLEMA
En qué relación se deben encontrar el módulo de la velocidad Vo con que debe lanzarse una partícula desde el punto A, con su ángulo de lanzamiento θ, para que el lugar geométrico del punto de intersección de la recta que define la dirección de lanzamiento y la recta vertical que pasa por el punto de impacto P dentro de la superficie cilindrica, sea una circunferencia de radio R cuyo centro geométrico es el punto O.
PROBLEMA
La figura muestra una barra AB uniforme y homogénea, de longitud 2L, en equilibrio inestable en posición vertical apoyado en una superficie horizontal completamente lisa. Si de pronto la barra se desvía ligeramente de su posición vertical y comienza a caer, determinar la ecuación de la trayectoria descrita por su extremo superior durante su caída.
PROBLEMA
La figura muestra un sistema formado por dos esferillas idénticas A y B unidas por una cuerda inextensible de 2 m de longitud. La esferilla A puede deslizarse sin rozamiento insertado en una guía delgada y curvilínea. Determinar la ecuación del lugar geométrico que define la forma que debe tener la guía para que en cualquier posición, definida por el ángulo θ, el sistema se encuentre en equilibrio.
PROBLEMA
La figura muestra algunas superficies equipotenciales generadas por dos cargas eléctricas puntuales que se encuentran ubicadas en los puntos (0; 0) y (1; 0) y cuyas cantidades de carga se encuentran en relación de 2 a -1. Determinar la ecuación del lugar geométrico de los puntos máximos y mínimos de todas aquellas superficies equipotenciales.
¿Crees tener la solución? Coméntanos y pasa la voz.
La resolución de estos problemas lo daré a conocer la próxima semana.
En este site hay un Java applet muy útil que permite graficar online funciones implícitas como por ejemplo:
- Circunferencias: x^2 + y^2 = 4
- Elipses: (x^2)/4+(y^2)/9=1
- Parábolas: y - 2x^2=0
- Hiperbolas: (x^2)/9 - (y^2)/4=1
- Exponenciales: y - exp(x) = 0
- Armónicas: y - sin(x) = 0
Solo ingresen la función implícita en un casillero y presionen la tecla ENTER
Es una herramienta de análisis muy útil. Se los recomiendo.
Nota: Se requiere tener instalado la máquina virtual de Java
En el reciente examen de admisión UNI 2010-II (examen de matemáticas) se propuso un problema de números complejos cuya respuesta no se encuentra entre las alternativas dadas. Intuyo que ha habido un problema de digitación. ¿Qué corrección debería hacerse a este problema para que la respuesta se encuentre en una de las alternativas propuestas?
PROBLEMA
Sean los números complejos z = x + yi y u = √x + yi, x>0 y los conjuntos:
¿Cuál de las siguientes gráficas representa A∩B?
De acuerdo a la definición del conjunto A, el módulo del conjugado del número complejo z sumado con la cantidad imaginaria 4i está entre 1 y 2. Teniendo presente esto y que el módulo de un número complejo es igual a la raíz cuadrada de los cuadrados de su parte real y de su parte imaginaria, tenemos que:
La representación de esta región es una corona circular de radios 1 y 2 centrada en el punto (0; 4).
De acuerdo a la definición del conjunto B, el módulo del complejo u = √x - yi sumado con la cantidad imaginaria 4i es mayor o igual a 0.
De esta relación se deduce que, debido a que el término cuadrático siempre es mayor o igual a 0, x debe ser mayor que 0.
Creo que esta última conclusión no era el espíritu del problema y por lo tanto aquí debe haber un problema de digitación que no se corrigió oportunamente.
Siguiendo la línea de nuestro razonamiento, la gráfica que representa la intersección de los conjuntos A y B es la que se muestra a continuación (que no aparece en la alternativas).
La clave que mas se aproxima a la respuesta es la que aparece como alternativa B, pero tiene el inconveniente que contradice la condición del problema (x>0).
Esta entrada es a sugerencia de mi amigo y colega Sneiter Bazán, por lo que la comunidad involucrada en los ciclos de preparación UNI le queda agradecido.
Desde el día en que se conocieron los resultados finales del concurso de admisión UNI 2010-II circularon rumores que Angel Ortega Obregon, flamante primer puesto computo general UNI, no había sido alumno de la academia Trilce y que esto fue negociado en los días previos.
A continuación una entrevista a Angel Ortega Obregon, a cargo del programa INFOSUR del canal 45 del distrito de Villa el Salvador. Aqui señala que academia la acompañó en la última etapa de su preparación.
Hace algunos meses un alumno me dio este problema (creo que era de la Vallejo) que me pareció interesante.
PROBLEMA
Una plataforma rota lentamente alrededor de un eje que pasa por uno de sus extremos con una velocidad angular constante ω y hace rodar un cilindro apoyado en una superficie horizontal áspera. Si consideramos que la esfera rueda sin resbalar en la supercifie horizontal y resbala respecto de la plataforma, determinar la velocidad angular ω' del cilindro cuando la barra forma un ángulo θ respecto de la horizontal.
Debido a que la resolución de este problema es ilustrativo para alumnos y docentes paso a mostrarles su resolución.
Se denomina centro instantaneo de rotación (CIR) de un cuerpo rígido, que se encuentra en movimiento en un cierto plano, a un punto de dicho plano que puede considarse como si en ese instante dicho cuerpo se encuentra efectuando un movimiento de rotación pura alrededor de él.
Si el cuerpo realiza una rotación pura alrededor de un punto, dicho punto es el CIR.
Si el cuerpo realiza un traslación pura el CIR se encuentra en el infinito en dirección normal a la velocidad de traslación.
Si el cuerpo realiza un movimiento general el CIR se mueve respecto al cuerpo de un instante a otro (de ahí que se llame centro instantáneo de rotación). Su posición se puede conocer en cada instante por intersección de las direcciones perpendiculares a la velocidad de dos de sus puntos.
Cuando un cilindro rueda sobre una superficie sin resbalar el CIR es el punto de contacto con dicha superficie.
En este caso el módulo de la velocidad de cada uno de los puntos del cilindro es igual al producto de su velocidad angular multiplicada por su distancia al CIR (punto O) y su dirección es perpendicular al segmento que une dicho punto con el CIR. En este problema, la rapidez del punto del cilindro en contacto con la plataforma será ω' r' = ω' (2 R cos θ/2).
Por otro lado el módulo de la velocidad de cada uno de los puntos de la plataforma es igual al producto de su velocidad angular por su distancia al eje de rotación y su dirección es perpendicular a la plataforma. En este problema, la rapidez del punto de la plataforma en contacto con el cilindro será ω r = ω(R cot θ/2).
Pero la velocidad absoluta del punto del cilindro en contacto con la plataforma (ω' r') resulta de la composición de su velocidad relativa a la plataforma (vrel) con la velocidad de arrastre de la plataforma (ω r).
Del triángulo mostrado se deduce que ω' r' sen θ/2 = ω r:
