jueves, 18 de noviembre de 2010

Métodos geométricos para resolver problemas de equilibrio

Como vimos en un post anterior, si un cuerpo se encuentra en equilibrio y se encuentra sometido a la acción de tres fuerzas no paralelas, las líneas de acción de estas deben ser concurrentes.

Esto permite resolver problemas de cuerpos en equilibrio sometido a la acción de tres fuerzas por criterios puramente geométricos.

Por ejemplo determinemos la posición que define el equilibrio de una barra uniforme y homogénea apoyada en dos superficies completamente lisas.



PROBLEMA
Determinar el ángulo θ que define la posición de equilibrio de la barra mostrada en la figura. Despreciar el rozamiento.

La resolución de este problema por criterios geométricos es bastante simple.

Como las líneas de acción de las tres fuerzas que actúan sobre el cuerpo deben ser concurrentes (punto O) y que M es el punto de aplicación de la fuerza de gravedad que actúa sobre la barra de longitud 2a, construimos el siguiente gráfico.

Como los triángulos rectángulos AOM y MCB son congruentes (caso ALA), M es punto medio de OC. Aplicando la definición trigonométrica de tangente al triángulo OCB tenemos:



PROBLEMA
Determinar el ángulo θ que define la posición de equilibrio de la barra mostrada en la figura. Despreciar el rozamiento.

La resolución de este problema por criterios geométricos también es bastante simple.

Como las líneas de acción de las tres fuerzas que actúan sobre el cuerpo deben ser concurrentes, se verifica que el cuadriláero AOBC es un rectágulo siendo OM un segmento vertical (línea de acción de la fuerza de gravedad). Como en el triángulo AOB la longitud de la mediana OM relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa, se verifica que el triángulo AMO es isóceles y por tanto los ángulos CAB y MOB son congruentes (también se verifica que los puntos M y C están en una misma vertical).

Como el ángulo θ es la diferencia de las medidas de los ángulos ABC y el ángulo α, tenemos que:



PROBLEMA
Determinar el ángulo θ que define la posición de equilibrio de la barra mostrada en la figura. Despreciar el rozamiento.

La resolución de este problema por criterios geométricos es bastante más complejo que los casos anteriores.

Sea m la longitud del segmento OB. Aplicando, la ley de senos al triángulo AOB determinaremos una relación entre m y a.

Como los triángulos rectángulos OCB y MCB tienen catetos iguales tenemos que:

Dividiendo miembro a miembro las relaciones anteriores, obtenemos una ecuación trigonométrica que tenemos que resolver:

Desarrollando el coseno de la diferencia, dividiendo ambos miembros de esta relación entre cos θ, y despejando la tangente del ángulo θ tenemos:

Finalmente, desarrollando el seno de la suma, simplificando y agrupando tenemos:



PROBLEMA
Si la barra mostrada es de peso despreciable, determinar la medida del ángulo θ que define su posición de equilibrio. (AP = 2 PB)

La respuesta de este problema es θ = tan-1(2-1). Intentalo!

PROBLEMA
Si la barra mostrada se encuentra en equilibrio, y se desprecia el rozamiento, determinar el valor de k, si:

La respuesta de este problema es de 2/√3. Intentalo!

PROBLEMA
Si la barra mostrada de longitud L se encuentra en equilibrio apoyada en una pared vertical y en un pequeño rodillo, y se desprecia el rozamiento, determinar el ángulo θ que define su posición de equilibrio, si:

La respuesta de este problema es θ = 60o. Intentalo!

PROBLEMA
Si la barra mostrada de longitud L se encuentra en equilibrio apoyada en una superficie cilindrica de radio R y en una pared vertical, y se desprecia el rozamiento, determinar el ángulo θ que define su posición de equilibrio, si:

La respuesta de este problema es θ = sen-1 (3-1). Intentalo!

2 comentarios:

Esteban dijo...

Estimado Orlando, el aporte de los problemas es magnífico, sólo corrige el resultado del penúltimo problema que sale ángulo= 60° y no como treinta grados que aparece en la respuesta.

Saludos.
Eduardo Villarreyes.

Orlando dijo...

Gracias Esteban. Ya lo corregi.

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