Cálculo del tiempo para escuchar el eco

Voy a resolver un problema relacionado con el eco generado cuando una onda sonora se refleja al encontrarse con un obstáculo.

Un tren bala de 112 m de largo se mueve en línea recta con una aceleración constante de 4 m/s². Si en el instante en que su rapidez es de 6 m/s y que su parte delantera se encuentra a 652 m de la boca de un tunel, de esta parte se emite un bocinazo, al cabo de qué tiempo una persona ubicada en la parte posterior del último vagón oirá el eco producido por las paredes laterales de la boca del tunel. (V_sonido = 340 m/s).

Cuando en la parte delantera del tren en movimiento se genera una perturbación, se generan ondas sonoras que se propagan en todas direcciones con una rapidez constante de 340 m/s, sin importar con qué velocidad se mueve el foco que originó la perturación (¡no se componen las velocidades!). Cuando las ondas sonoras que se propagan en dirección horizontal se reflejan en la pared que se encuentra delante del tren se produce el eco que se propaga en dirección contraria. En la figura inferior se muestra con color rojo las ondas sonoras que se propagan hacia la derecha y con color celeste las ondas del eco que se propaga hacia la izquierda.

En este problema hay que analizar el movimiento del sonido en la dirección horizontal (MRU) y el movimiento del tren (MRUV).

Sea t el tiempo transcurrido desde el instante que se genera el sonido hasta el instante que la persona ubicada en la parte posterior del último vagón escucha el eco.

La distancia recorrida por el sonido en este tiempo será 340t (d = V_sonido.t) y la distancia recorrida por el tren en este tiempo sera d = 6t + 2t² (d = V_o.t + 1/2 a.t²).

De la geometría del problema (ver figua superior) se deduce que la distancia recorrida por el sonido en dicho intervalo de tiempo es igual a la suma de la distancia D (distancia recorrida por el sonido en la ida) más D - d (distancia recorrida por el eco hasta que alcanza la parte delantera del tren) más la longitud del tren L.

Resolviendo esta ecuación se deduce que el tiempo que transcurre hasta que el pasajero escucha el eco es de 4 s.

Cabe señalar que el pasajero escuchará primero el sonido que proviene directamente del foco (después de 0,32 s de haberse generado).