martes, 3 de mayo de 2011

Equilibrio de cuerpos sumergidos en líquidos

Como vimos en un post anterior existen dos formas de equilibrio: traslacional y rotacional. También vimos que habían tres formas de equilibrio: estable, inestable e indiferente.

En este post vamos a considerar el equilibrio de cuerpos que se encuentran parcial o totalmente sumergidos en líquidos, que a su vez se encuentran en reposo respecto de un sistema de referencia inercial.

Sin importar la forma que tiene el cuerpo, si este se encuentra en equilibrio parcialmente sumergido en un líquido, la densidad media del cuerpo es menor que la del líquido (ρcue < ρliq). Cuando la razón de sus densidades mas cerca a 1 se encuentren, mayor será el volumen sumergido.

Se demuestra que,cuando un cuerpo flota parcialmente sumergido en un líquido, el volumen sumergido Vs, también llamado volumen de carena, es:

siendo Vcue el volumen del cuerpo. Según esto, el porcentaje del volumen sumergido solo depende de las densidades del cuerpo y del líquido.

Por ejemplo, los icebergs flotan en el agua de mar debido a una notable propiedad del agua: al congelarse aumentan de volumen y por tanto su densidad disminuye. La densidad del agua de mar es de aproximadamente 1028 kg/m3 y la del hielo es de 916,8 kg/m3. Debido a esto el porcentaje del volumen sumergido de los icebergs es de aproximadamente 90%.

El equilibriode los cuerpos parcialmente sumergidos se establece porque la fuerza de gravedad Fg y la fuerza de empuje FE son de igual módulo, son colineales y tienen dirección opuesta. El punto donde actúa la fuerza de gravedad se denomina centro de gravedad (CG) y el punto donde actúa la fuerza de empuje centro de flotación (CF), centro de empuje o centro de carena.

La estabilidad se refiere a la capacidad de un cuerpo de regresar a su posición original de equilibrio después de haber sido alejado de este, debido a un desplazamiento o a una rotación. El término estabilidad proviene del concepto de equilibrio estable.

Un cuerpo tendrá una estabilidad lineal cuando ante un pequeño desplazamiento lineal, en cualquier dirección, se genera sobre él una fuerza restauradora que tiende a retornarlo a su posición original de equilibrio. Tendrá estabilidad rotacional cuando ante un pequeño desplazamiento angular, en cualquier dirección, se genera un par restaurador que tiende a retornarlo a su posición original.

Un cuerpo que flota parcialmente sumergido en un líquido estático tendrá siempre una estabilidad vertical ya que al desplazarlo verticalmente hacia abajo o hacia arriba respecto de su posición de equilbrio PE, se originará una fuerza restauradora de direccion vertical y opuesta al sentido del desplazamiento que lo hará regresar a dicho punto. Esto se debe a que un pequeño desplazamiento vertical hacia abajo, por ejemplo, aumentará el volumen del líquido desplazado, lo que originará una fuerza no balanceada, cuyo módulo es FE - Fg, que apunta hacia arriba y lo retorna a su posición original.

A continuación analizaremos la estabilidad rotacional de cuerpos prismáticos.

Vamos a analizar la estabilidad de cuerpos prismaticos flotantes con el centro de gravedad situado por encima del centro de flotacion, cuando se producen pequeños angulos de inclinación respecto de su posición de equilibrio.

La siguiente figura muestra la seccion transversal de un cuerpo prismatico, de sección transversal uniforme, que se encuentra en equilibrio parcialmente sumergido en un líquido.

Aqui se aprecia que el centro de flotacion CF, que es el centro geométrico del volumen desalojado por el cuerpo, y el centro de gravedad CG, que es el centro geométrico del volumen total del cuerpo (esto solo si el cuerpo tiene una distribucion de masa homogenea), se encuentran sobre una misma recta vertical.

Llamaremos AA' a la recta vertical que pasa por el punto CF y BB' a la recta diametral vinculada con el cuerpo que pasa por el punto CG y que en la posición de equilibrio tiene dirección vertical.

Ahora inclinemos el cuerpo un pequeño ángulo en sentido contrario a las agujas del reloj como se aprecia en la figura.

Como se aprecia, el volumen sumergido habrá cambiado de forma, por lo que su centroide CF habrá cambiado de posición. Tambien se aprecia que la recta diametral BB' que pasa por el centro de gravedad CG habrá rotado con el cuerpo.

En esta configuracion las fuerzas que actúan sobre el cuerpo ya no son colineales, por lo que actúan como un par de fuerzas restauradoras que producirán un giro al cuerpo en sentido contrario a la rotacion producida en un principio, devolviendolo a su posicion inicial.

Se denomina metacentro al punto de intersección de la recta diametral de un cuerpo en equilibrio parcialmente sumergido en un líquido (recta que pasa por su centro de gravedad y es vertical cuando el cuerpo se encuentra en equilibrio) y la vertical que pasa por el punto de flotación.

En este caso el metacentro M se encuentra por encima del centro de gravedad CG y que el cuerpo se encuentra en equilibrio estable.

Ahora consideremos un cuerpo no-homogeneo parcialmente sumergido en un líquido. Por ejemplo, consideremos un cuerpo prismatico cuyo centro de gravedad se encuentra sobre el eje de simetría BB' del cuerpo pero descentrado, como lo indica la figura.

Cuando inclinamos el cuerpo, puede ocurrir que el metacentro M se encuentre ubicado ahora por debajo del centro de gravedad. En este caso las fuerzas que actúan sobre el cuerpo actúan como un par de fuerzas que producirán un giro al cuerpo en el mismo sentido de la rotacion producida en un principio, alejándolo aún más de su posicion inicial. Se dice entonces que el cuerpo presenta equilibrio inestable.

Cuando el metacentro se encuentra por encima del centro de gravedad CG, el cuerpo se encuentra en equilibrio estable. Cuando el metacentro se encuentra por debajo del CG el cuerpo se encuentra en equilibrio es inestable, y cuando el metacentro coincide con el CG, se encuentra en equilibrio indiferente.

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