Exámen JEE (avanzado) del Instituto Indio de Tecnología

El Instituto Indio de Tecnología, popularmente conocido como IITs, son un grupo de 16 institutos autónomos de ingeniería y tecnología de la India orientado a la educación de alto nivel establecido y declarado de importancia nacional por el parlamento indú.

Este año el examen de ingreso conjunto JEE avanzado se realizó este año el 02 de Junio y aqui una muestra de los problema de Física propuestos en esta oportunidad.

PROBLEMA
Una partícula de masa m es lanzada desde el suelo con una velocidad inicial v_o y un ángulo α con la horizontal. En el punto más alto de su trayectoria, efectúa una colisión completamente inelástica con otra partícula idéntica, que fue lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo con la misma velocidad inicial v_o. El ángulo que la velocidad del sistema compuesto forma con la horizontal inmediatamente después del choque es:
A) π/4   B) π/3   C) π/6   D) α π/4   E) α π/3

PROBLEMA
La imagen de un objeto, formado por una lente plano-convexa a una distancia de 8 metros detrás de la lente, es real y es un tercio del tamaño del objeto. La longitud de onda de la luz dentro de la lente es de 2/3 veces la longitud de onda en el espacio vació. El radio de la superficie curvada de la lente es:
A) 1 m   B) 2 m   C) 3 m   D) 4 m   E) 6 m

PROBLEMA
El trabajo realizado sobre una partícula de masa m realizado por una fuerza F es:

(siendo K una constante de dimensiones apropiadas), cuando la partícula se mueve del punto (a, 0) al punto (0, a) a lo largo de una trayectoria circular de radio a respecto del origen en el plano xy es:
A) 2Kπ/a   B) Kπ/a   C) Kπ/2a   D) Kπ/4a   E) 0

PROBLEMA
El extremo de un cable horizontal grueso de cobre de longitud 2L y 2R radio es soldado al extremo de otro cable delgado horizontal de cobre de longitud L y el radio R. Cuando este sistema es estirado aplicando fuerzas por ámbos extremos, la relación de la elongación del alambre delgado y el alambre grueso es:
A) 0,25   B) 0,50   C) 1,00   D) 2,00   E) 4,00

PROBLEMA
Dos bloques rectangulares, que tienen dimensiones indénticas, pueden ser dispuestos, ya sea en la configuración I o en la configuración II como se muestra en la figura. Los bloques tienen una conductividad térmica k y 2k. La diferencia de temperaturas entre los extremos a lo largo del eje x es el mismo en ambas configuraciones. Si se necesita 9 s para transportar cierta cantidad de calor desde el extremo caliente al extremo frío en la configuración I, el tiempo para transportar la misma cantidad de calor en la configuración de II es:

A) 2,0 s   B) 3,0 s   C) 4,5 s   D) 5,0 s   E) 6,0 s

PROBLEMA
Un pulso de luz de duración de 100 ns es absorbido completamente por un pequeño objeto inicialmente en reposo. La potencia del pulso es 30 mW y la velocidad de la luz es 3x10⁸ m.s^-1. El impulso final del objeto es:
A) 0,3x10^-17 kg.m.s^-1   B) 1,0x10^-17 kg.m.s^-1
C) 3,0x10^-17 kg.m.s^-1   D) 6,0x10^-17 kg.m.s^-1
E) 9,0x10^-17 kg.m.s^-1

PROBLEMA
Dos esferas sólidas no-conductoras de radios R y 2R, que tienen densidades volumetricas de carga uniforme ρ₁ y ρ₂ respectivamente, se ponen en contacto. El campo eléctrico resultante a distancia 2R del centro de la esfera más pequeña, a lo largo de la línea que une sus centros, es cero. La relación ρ₁/ρ₂ puede ser:
A) -4   B) -32/25   C) 32/25   D) 4   E) B y D

PROBLEMA
Una cuerda estirada horizontal, fija en ámbos extremos, está vibrando en su quinto armónico de acuerdo a la ecuación:
y(x,t) = (0,01 m) sen [(62,8 m^-1) x] cos[(628 s^-1) t]
Suponiendo que π = 3,14, establecer el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
I.    El número de nodos es 5
II.   La longitud de la cuerda es 0,25 m
III.  El máximo desplazamiento de punto medio de la cuerda, de su posición de equilibrio, es 0,01 m
IV.   La frecuencia fundamental es 100 Hz
A) VVVF   B) VFVF   C) FVFV   D) FVVF   E) FVVV

PROBLEMA
En el circuito mostrado en la figura, hay dos capacitores de placas paralelas cada uno de capacitancia C. El interruptor S₁ es presionado primero para cargar completamente el capacitor C₁ y luego es liberado. El interruptor S₂ es luego presionado para cargar el capacitor C₂. Después de algún tiempo, S₂ es liberado y luego S₃ es presionado. Después de algún tiempo, decir cual de los siguientes enunciados es verdadero (V) o falso(F).
I.    La carga sobre la placa superior de C₁ es 2CV_o
II.   La carga sobre la placa superior de C₁ es CV_o
III.  La carga sobre la placa superior de C₂ es 0
IV.   La carga sobre la placa superior de C₂ es -CV_o

A) VFFV   B) VFVF   C) FVFV   D) FVVF   E) FVVV

PROBLEMA
Una partícula de masa M y carga positiva Q, se mueve con una velocidad constante v₁ = 4 î m.s^-1, ingresa a una región en donde existe un campo magnético estacionario uniforme normal al plano xy. La región del campo magnético se extiende desde x = 0 a x = L para todos los valores de y. Después de pasar a través de esta región, la partícula emerge en el otro lado después de 10 milisegundos con una velocidad v₂ = 2(√3 î + ĵ) m.s^-1. La sentencia(s) correcta(s) es (son):
I.    La dirección de la fuerza magnética es -z
II.   La dirección de la fuerza magnética es +z
III.  La magnitud del campo magnético es 50πM/3Q
IV.   La magnitud del campo magnético es 100πM/3Q
A) VFFV   B) VFVF   C) FVFV   D) FVVF   E) FVVV

PROBLEMA
Las funciones de trabajo de la plata y sodio son 4,6 y 2,3 eV, respectivamente. La razón de la pendiente del gráfico del potencial de frenado versus la frecuencia de la plata y el sodio es:
(h: constante de Planck; e: carga del electrón)
A) 1   B) 2   C) h   D) e   E) h/e

Olimpiada Peruana de Física 2013: Primera Prueba

Este fin de semana se realizó la primera eliminatoria de la XIV Olimpiada Peruana de Física 2013 en donde participaron cientos de estudiantes de secundaria de diferentes regiones de nuestro País.

Con el objetivo de satisfacer la inquietud de muchas personas de conocer el grado de dificultad del examen y las claves de este examen, con el permiso de los señores de la SOPERFI, que son los organizadores de este evento, y con el fin que ellos mismo persiguen que es el de difundir mas el estudio de la Física en nuestro medio, les muestro la primera prueba de este proceso de selección.

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Fuerzas distribuidas en un cable

Hace algunas semanas nuestro amigo y colega Oswaldo Farro, me consultó este problema de Física.

PROBLEMA
Las cuerdas verticales mostradas soportan una barra cuyo peso de 240 N está uniformemente distribuido en sus 12 m de longitud. Despreciando el peso del cable y de las cuerdas, determinar el módulo de la reacción en el extremo B, la tensión que soporta el cable en el punto mas bajo C y la longitud x, si h = 4m y θ = 45^o.

Resolución

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Olimpiada Peruana de Física 2013

La Sociedad Peruana de Física (SOPERFI) convoca a la Olimpiada Peruana de Física 2013. El siguiente es el cronograma de actividades.

Leyendo el blog de nuestro amigo Erico Fredy Palacios Loayza, autor del muy visitado blog peruano Matematica y Olimpiadas, he tenido acceso a la prueba de clasificación del año pasado (Olimpiada Peruana de Física 2012). Haz clic en la siguiente imagen para verlo.

Algunas correciones a las claves dadas en este documento.

• En el problema 20 la clave es B
• En el problema 27 la respuesta es aproximadamente 1.25 V
• En el problema 37 la clave es A

Granada que explota en dos fragmentos

Una vez mas nuestro amigo Hugo Luyo Sanchez, del blog (Mathematicorum y Yo), publicando problemas interesantes de Física.

PROBLEMA
Un proyectil es lanzado hacia. arriba y en el punto más alto de su trayectoria explota en dos partes de masas m₁ = 3 kg y m₂ = 6 kg. Las dos partes llegan a la Tierra a igual distancia del punto de lanzamiento, y con una diferencia de tiempo T = 4 s. Halle la altura en la cual ocurre la explosión. Desprecie la resistencia del aire y considere g = 10 m/s².

Resolución

Como durante el pequeño intervalo de tiempo que dura la explosión, la fuerza de gravedad genera un impulso despreciable sobre los fragmentos de la granada, se conservará su cantidad de movimiento un instante antes y un instante después de la explosión. A partir de esto, y teniendo en cuenta que antes de la explosión la cantidad de movimiento de la granada era nula, se deduce que la rapidez del fragmento de menor masa es el doble que la del fragmento de mayor masa y que las direcciones de sus velocidades son opuestas (ver figura).

Estamos denotando con t al tiempo que tarda el 1er fragmento en llegar a la Tierra y, por tanto, t + 4 al tiempo que tarda el otro. A continuación analizaremos el movimiento parabólico que describe cada una de las partes hasta que llega a la Tierra (primero el movimiento horizontal: MRU y luego el movimiento vertical: MVCL).

Como los módulos de los desplazamientos horizontales que experimentan los fragmentos, hasta que llegan a la Tierra, son iguales, tenemos que:

De esta ecuación se deduce que t = 4 s (t₁ = 4 s y t₂ = 8 s).

Como los módulos de los desplazamientos verticales que experimentan los fragmentos, hasta que llegan a la Tierra, son iguales, tenemos que:

De esta ecuación se deduce que v.senθ = 15 m/s. Reemplazando este valor en la ecuación anterior de deduce que H = y₁ = y₂ = 200 m.

Problemas físicos de máximos y mínimos trigonométricos

Hace unos momentos recibi un paper de Israel Diaz respecto de criterios para maximizar expresiones trigonométricas y me vino a la mente un post que deje inconcluso hace algunas semanas.

En una reunión de trabajo en Trilce con mis colegas Max Soto Romero y Dan Pariasca, cuando estaba colocando las claves de un material para el colegio (nivel UNI), me tope con un problema en donde se requería maximizar una expresión trigonométrica (el que figura abajo). Eso me pareció excesivo para escolares, por mas que sean alumnos tipo UNI, pero ellos me comentaron que había una regla práctica para maximizar expresiones que resultan del producto de potencias de funciones Seno y Coseno.

Yo no conocía este método práctico (siempre lo hacía por derivadas). Max me comentó que ese método práctico lo conocía desde hace varios años y que anecdóticamente lo conoció por uno de sus alumnos del grupo selección (grupo de talentos) de hace mucho tiempo.

Así que con su permiso, he demostrado este teorema para un caso general, que lo llamaré Max's Theorem, (teorema de Max), que permite maximizar expresiones trigonométricas de la forma:

TEOREMA:
Una expresión trigonométrica de la forma:
                                                
siendo m y n numeros racionales de igual signo, toma su máximo valor para un ángulo θ tal que:
                                                      

Para demostrar esto, utilizaremos el criterio de la derivada: se deriva la expresión respecto de la variable θ; igualamos esta derivada a cero y resolvemos la ecuación obtenida.

Según esto, la expresión anterior toma su máximo valor para un ángulo θ que cumple la siguiente relación:

Veamos dos ejemplos de aplicación de este criterio

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PROBLEMA 1
Dos partículas electrizadas, con cargas eléctricas de igual valor, se encuentran ubicadas en los puntos A y B separadas cierta distancia. Si en un punto P ubicado sobre el plano de simetría la magnitud del campo eléctrico toma su máximo valor, determinar la tangente del ángulo PAB.

Resolución

Tomemos un punto genérico P ubicado sobre el plano de simetría y determinemos en este punto el campo eléctrico resultante E_R de los campos generados por cada una de las cargas eléctricas (tenga en cuenta que por criterio de simetría cada una de las cargas genera en P campos de la misma magnitud E y por lo tanto E_R tiene dirección vertical).

Como las componentes horizontales de E se anulan, el módulo de la resultante E_R es igual a la suma de las componentes verticales de E.

De esta expresión concluimos que E_R tomará su máximo valor cuando la expresión trigonomética φ = senθ.cos²θ sea máxima, y en esta parte aplicamos el Teorema de Max (con m = 1 y n = 2).

Nos piden la tangente de θ, por tanto la respuesta es √2/2.

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PROBLEMA 2
Una esferilla se deja en libertad de movimiento de la parte superior de un plano inclinado. Si esta recorre una distancia e hasta que choca elásticamente con la superficie horizontal, determinar el máximo valor que puede tomar el número n. Desprecie todo tipo de rozamiento.

Resolución

A partir del principio de conservación de la energía mecánica se verifica que la rapidez con que llega la esferilla a la base del plano inclinado es:

Por otro lado, como la esferilla choca elásticamente con la superficie horizontal, la velocidad con la que inicia su movimiento parabólico también es de módulo v y también forma un ángulo θ respecto de la horizontal, como se muestra en la figura adjunta.

A continuación analizaremos el movimiento parabólico que describe la esferilla y usaremos la fórmula que relaciona el alcance horizontal R con la rapidez de lanzamiento v_o y el ángulo de lanzamiento θ.

De esta expresión concluimos que n tomará su máximo valor cuando la expresión trigonomética φ = sen²θ.cosθ sea máxima, y en esta parte aplicamos el Teorema de Max (con m = 2 y n = 1).

De esto se deduce que el máximo valor de n, y el correspondiente ángulo θ, es:

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A continuación les muestro el aporte de Israel Diaz que permite hacer esto, ¡sin usar derivadas!. Su lectura y análisis es muy recomendable.

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Examen Admisión UNI 2013-1: ¿Pregunta polémica en álgebra?

A través del muy exitoso blog peruano Matemáticas y Olimpiadas, de nuestro amigo Erico Palacios, me he enterado que nuestro compatriota Israel Díaz Acha ha hecho una observación a los solucionarios presentados por todas las academias preuniversitarias de nuestro medio, respecto de un problema de funciones que fue propuesto en el reciente proceso de admisión UNI 2013.

De su paper podemos concluir que para Israel la respuesta correcta NO aparece en las alternativas.

¿Qué dirán los expertos en el tema?

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