Problemas de valores extremos (máximos o mínimos) son frecuentes en todas las áreas de la ciencias.
En este post les mostraré algunos problemas físicos de este tipo y la manera como resolverlos.
El método formal para determinar el valor extremo que toma una magnitud física consiste en establecer una relación entre esta y otra magnitud que puede considerarse como variable independiente y analizar para qué valor de esta variable independiente la magnitud toma un valor extremo máximo o mínimo. Este tipo de problemas puede ser resuelto aplicando el concepto de derivada de una función, no obstante trataremos de resolverlos por métodos más elementales.
PROBLEMA
Una partícula es lanzada desde el punto A del plano inclinado mostrado en la figura. Determinar el mínimo valor que puede tomar la rapidez de lanzamiento Vo con la condición que llegue al punto B. Despreciar toda clase de rozamiento.
Como vimos en un post anterior, el movimiento parabólico de un cuerpo en el campo de la gravedad puede ser considerado como la composición de un movimiento rectilíneo uniforme con una velocidad igual a la velocidad de lanzamiento y de un movimiento vertical de caida libre partiendo del reposo. Denominando t al tiempo que le toma a la partícula en impactar en el plano, y recordando las fórmulas del MRU y del MVCL, tenemos:
De la figura:
Eliminando la variable t de estas ecuaciones, y despejando la velocidad Vo, tenemos:
Analizando esta expresión se deduce que la velocidad Vo tomará su valor mínimo, cuando la expresión trigonométrica del denominador, que lo llamaremos E, tome su valor máximo. Expresando E en función del ángulo doble, y agrupando, tenemos:
La expresión trigonométrica E tomará su máximo valor cuando la expresión (7 cos 2θ + 24 sen 2θ) sea máxima. La matemática demuestra que el máximo valor de expresiones de este tipo es la raíz cuadrada de 72 + 242, es decir 25.
De esto se concluye que el máximo valor que toma E es 16 y por tanto el mínimo valor de Vo es:
A continuación les planteo algunos problemas físicos de máximos y mínimos.
PROBLEMA
Una partícula es lanzada desde el punto A de una superficie cilíndrica de radio R, cuyo eje es una recta horizontal que pasa por O, con una velocidad inicial cuya dirección pasa por O. Determinar el tiempo máximo que puede permanecer en el aire dentro del cilindro antes de chocar con el cilindro. Despreciar toda clase de rozamiento.
PROBLEMA
Si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie horizontal es μ, y la masa del cubo uniforme es m, ¿con qué fuerza mínima es necesario tirar el cubo por su arista superior manteniendo su estado de reposo?
1 comentarios:
Que tal Orlando, se agaradece el aporte, sólo que para el último problema la fuerza mínima no depende del ángulo alfa, el resultado dependería del coeficiente de rozamiento estático F= (mg)u/(u^2+1)^1/2
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