lunes, 19 de diciembre de 2011

Problema que aparentemente faltan datos

En un post anterior, resalté un problema propuesto por Hugo Luyo Sanchez (Mathematicorum y Yo), en donde aparentemente faltaban datos, aunque él recalcaba una y otra vez que no era así.

Todos nosotros aprendemos durante muestra vida algoritmos para resolver diferentes tipos de problemas, es decir aprendemos modelos de resolución de problemas concretos. Pero si por alguna razón un determinado problema no encaja en ninguno de estos algoritmos, solemos pensar que se requiere información adicional para resolverlo (problema de suficiencia de datos).

Por ejemplo, para resolver un problema de equilibrio, uno de los algoritmos de resolución es el siguiente:

Primero, realizar el diagrama de cuerpo libre (DCL) del cuerpo o del sistema que se encuentra en equilibrio.

Segundo, construir un polígono cerrado de fuerzas, con las fuerzas que han sido identificadas en el paso anterior.

Tercero, resolver el poligono, esto es determinar una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en equilibrio, asumiento que todas las demás son conocidas.

Estos pasos son conocidos por todo aquel que tiene nociones de Estática, pero todos estamos acostumbrados a que nos den los datos y encontrar la incognita en un problema. No estamos acostumbrados a encontrar los datos a partir de un gráfico, y el problema en mensión es de este tipo.

La gran mayoría a tratado de resolver este probelma matemáticamente, y algunos hasta han tratado de encontrar la ¡ecuación de la catenaria!, cuando la resolución es realmente simple si hacemos uso del gráfico, suponiendo claro está que este también es una fuente de información.

El extremo de una cuerda fija a una pared vertical y el otro extremo es jalado por una fuerza horizontal de 20 N. La forma de la cuerda flexible es como se muestra en la figura. Hallar su masa. No faltan datos.

RESOLUCION

Resulta obvio que sobre la cuerda solo actúan tres fuerzas: la fuerza horizontal mencionada, la fuerza de gravedad Fg y la tensión T en su extremo superior, que tiene una dirección tangente a la curva en ese punto.

Hagamos el DCL de la cuerda, teniendo presente que las líneas de acción de las tres fuerzas deben ser concurrentes, y construyamos el polígono cerrado de fuerzas, que es un triángulo vectorial en este caso.

Para determinar el ángulo θ, que forma la tension T con la vertical, asumimos que el gráfico se encuentra construido a escala y usamos un transportador. Asumiendo un margen de error, vemos que el ángulo θ es aproximadamente 25o.

Finalmente, por trigonometría se concluye que Fg = 20 ctg 25o = 42,9 N y por tanto su masa será 4,38 kg.

0 comentarios:

Publicar un comentario