Equilibrio de un sistema casquete - barra

Hace unos días mi amigo y colega Max Soto Romero de la Academia Trilce me planteó un problema de equilibrio, que a primera vista me pareció "extraño" o inusual.

El problema era el siguiente:

PROBLEMA
Un sistema está formado por un cascarón semiesférico de radio R y una barra de longitud L que se encuentra parcialmente dentro de él. Si la masa del cascarón es M y la de la barra es m, y el sistema se encuentra en equilibrio en la posición indicada, encontrándose la barra dispuesta en forma horizontal, determinar el ángulo θ que forma la barra con el radio del cascarón que pasa por el punto de contacto entre estos. Considere que la barra es uniforme y homogénea y que no existe rozamiento.

Resolución

Para resolver este problema, primero analicemos el estado de equilibrio de la barra uniforme y homogénea.

Antes de construir el DCL de la barra, que es el primer paso para resolver un problema de equilibrio, señalemos que la fuerza de reacción normal F_n debido al contacto entre dos cuerpos siempre es perpendicular a la superficie de apoyo.

Como la barra interactúa con tres cuerpos (dos interacciones por contacto y una a distancia), sobre esta actúan tres fuerzas: dos fuerzas de reacción normal y una fuerza de gravedad (peso). La figura adjunta muestra el DCL de la barra:

El segundo paso para resolver un problema de equilibrio es aplicar las condiciones de equilibrio. De la 1ra condición de equilibrio se deduce que si sobre un cuerpo en equilibrio solo actúan tres fuerzas, estas, al ser graficadas uno a continuación del otro, deben formar un triángulo cerrado.

Como la resultante de las fuerzas verticales F_g y F_n es vertical, para que se cumpla la 1ra condición de equilibrio, la tercera fuerza F^'_n también debería ser vertical. De esto se concluye que la fuerza de reacción normal entre la barra y la superficie interior del casquete debe ser nula (F^'_n=0) y por tanto F_g = F_n.

Por otro lado, de la 2da condición de equilibrio se deduce que, si sobre un cuerpo en equilibrio solo actúan dos fuerzas (F_g y F_n) estas deben ser colineales. Por tanto, como F_g actúa en el punto medio de la barra, el punto de apoyo de la barra se encuentra también en su punto medio.

Antes de analizar el estado de equilibrio del sistema como conjunto, debo señalar que el centro de gravedad del cascarón semiesférico se encuentra en el punto G ubicado sobre su eje de simetría a una distancia R/2 de su centro de curvatura, es decir Y_G = R/2 (esto se demuestra por métodos de integración que escapan a los alcances de este blog, aunque estoy tratando de demostrarlo por métodos "mas elementales").

A continuación se muestra el DCL del sistema casquete-barra (no se grafican las fuerzas internas de contacto entre las partes del sistema).

Como el sistema casquete-barra interactúa con tres cuerpos exteriores (una interacción por contacto y dos a distancia), sobre este actúan tres fuerzas verticales: una fuerza de reacción normal F_n y dos fuerzas de gravedad (pesos de las partes).

Aplicando la 2da condición de equilibrio al sistema, respecto del punto de apoyo P:

De esto se deduce, por consideraciones estrictamente geométricas, que existe una relación definida entre la longitud L de la barra y el radio R del casquete para que se cumpla la condición del problema.

Como comentario final mencionaré que este problema sale de los cánones normales y ha dado que hablar al mundillo preuniversitario.

Felicitaciones por hacer algo diferente Max . . . and go on.