Movimiento parabólico sobre una montaña congelada

Mi colega de curso, el Prof Oswaldo Farro, ha traducido un problema propuesto en la fase local de las olimpiadas rusas de física, que me parece interesante y comparto con ustedes.

El problema es el siguiente:

PROBLEMA
Una montaña congelada con dos pendientes forman un ángulo γ con respecto a la horizontal. Cada pendiente tiene la forma de un rectángulo de lados a y 2a. Un jugador de jockey ubicado en el punto A quiere lanzar un disco al arco que se encuentra en el punto B de tal forma que el disco no se despegue del hielo durante su movimiento. ¿Con qué velocidad y qué ángulo respecto del lado AO el jugador debe lanzar el disco para conseguir su objetivo? Considerar que la cima de la montaña está ligeramente redondeada y las dimensiones del disco y la fricción se desprecian.

Resolución

Antes que nada diremos que todo cuerpo que se mueve sobre un plano inclinado libre de rozamiento lo hace con una aceleración constante g' que es una componente de la aceleración de la gravedad (ver figura I).

Por otro lado, cuando se lanza un cuerpo en forma tangencial a una superficie cilíndrica completamente lisa, siempre hay la posibilidad que este se despegue de ella. Esta circunstancia depende de la velocidad con que es lanzada y de la curvatura de dicha superficie. La figura II muestra que si el valor de la velocidad de lanzamiento V_θ es muy pequeña (caso 1), este no logra cruzar el domo de la superficie cilindrica (resbala, se detiene y luego regresa); en cambio, si este valor es muy grande, este se despega de la superficie en el instante del lanzamiento (caso 3).

Determinemos el mínimo valor que debe tener la velocidad V_θ para que el cuerpo se despegue de la superficie en el instante del lanzamiento. Este valor será mínimo cuando el radio de curvatura de la trayectoria en el instante del lanzamiento es R y la aceleración centrípeta es g' cos γ (ver figura III).

Con una velocidad mayor, el cuerpo se despegará de la superficie en el instante del lanzamiento.

De esto se deduce que si el radio de la superficie cilíndrica es pequeño, la velocidad de lanzamiento V_θ que cumple con la condición de que el cuerpo no se despegue de la superficie es practicamente cero.

Según esto, para que el disco no se despegue de la montaña de hielo en ningún momento, cuando este llegue a la cima de la montaña su velocidad en la dirección de la aceleración de g' debe ser practicamente nula, y por tanto, el movimiento de subida y de bajada por la montaña serán semiparábolas idénticas, como se muestra en la figura IV.

De las ecuaciones del movimiento parabólico:

se deduce que:

Observe que este ángulo no depende de la aceleración de la gravedad.

Reemplazando en la relación (1) y teniendo presente que la aceleración de la gravedad g en este caso es g sen γ, se deduce que: