sábado, 4 de febrero de 2012

Problema de geometría

Hace unos días circuló por un grupo en internet una versión que el siguiente problema de geometría aparentemente estaba mal propuesto y que no podía ser resuelto.

PROBLEMA
En el gráfico, TL // PA. Si T es punto de tangencia, calcule x.

Resolución

Primeramente permítanme recordar algunos teoremas respecto de los ángulos en una circunferencia.

1) La medida del ángulo inscrito DCE es igual a la del ángulo semiinscrito DEF (ver Fig 1). De esto se concluye que la mdedida de todos los ángulos inscritos en la circunferencia que pasan por los puntos D y E son iguales (ver Fig 2). La siguiente animación muestra el arco capaz de un ángulo de 90o (en este caso el segmento que subtiende al ángulo es un diámetro).

2) De lo anterior se concluye que si tenemos un cuadrilátero en donde se cumple que los ángulos formados por cada una de sus diagonales y dos de sus lados opuestos, y son opuestos a un tercer lado, tienen igual medida, dicho cuadrilátero es inscriptible o cíclico.

Ya en el problema en mención, trazamos el segmento BT. Por ángulos correspondientes entre rectas paralelas se concluye que las medidas de los ángulos APQ y LTQ son iguales.

Por otro lado, de la observación 1 mencionada anteriormente se concluye que las medida de los ángulos LTQ y LBT también son iguales.

De la observación 2 mencionada anteriormente se concluye que el cuadrilátero BCTP es inscriptible y por tanto la medida de su ángulo interior CTP es de 110o, suplementario a 70o.

Finalmente, como la suma de las medidas de los ángulos que se encuentran a un lado de una misma recta es 180o, se concluye que x es 50o.

4 comentarios:

WALTER LAURO PEREZ TERREL dijo...

Orlando Ramirez y el profe "figurita", muchas gracioas por la resolución. Un abrazo.

carlosmath dijo...

Aquí copiaron su solución
http://www.forosperu.net/showthread.php?p=6841364#post6841364

Orlando dijo...

Si ya me di cuenta. No a la pirateria

Orlando dijo...

No sabia que era de la CEPREUNI. Lo propusieron en un grupo en internet.

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