Problema de Geometría

Gracias al invalorable aporte de nuestro amigo Erico Palacios de Matematicas y Olimpiadas, esta es la resolución del problema geometrico propuesto por Milton Donaire a través del blog SobreGeometrias.

PROBLEMA
Si la medida del arco ST es de 100^o, calcule la medida del ángulo x. P, Q y B son puntos de tangencia y S, M y N son colineales.

Antes de resolver este problema, demostremos un teorema:.

Si se tienen dos circunferencias secantes en los puntos Q₁ y R₁ y trazamos una recta AB tangente a una de ellas en el punto P, y se toman dos puntos Q₂ y R₂ sobre la otra de modo que Q₂ se encuentra en la prolongación de Q₁P y R₂ en la prolongación R₁P, se cumple que el segmento R₂Q₂ es paralelo a AB.

DEMOSTRACION
Tracemos el segmento Q₁R₁. Teniendo en cuenta las definiciones de ángulo inscrito y semi-inscrito en la circunferencia menor se verifica que las medidas de los ángulos R₁Q₁P y R₁PB son iguales. Por otro lado, teniendo en cuenta la definición de ángulo inscrito en la circunferencia mayor se verifica que las medidas de los ángulos R₁Q₁Q₂ y R₁R₂ Q₂ tambien son iguales.

De esto se concluye que el segmento R₂Q₂ es paralelo al segmento AB y que los arcos AR₂ y BQ₂ son iguales.

A partir de esto se puede establecer el siguiente corolario:

Si se tienen dos circunferencias secantes en los puntos Q₁ y R₁ y trazamos una recta AB tangente a una de ellas en el punto P, y se toman dos puntos Q₂ y R₂ sobre la otra de modo que R₂ se encuentra en la prolongación de R₁P y R₂Q₂ es paralelo a AB, se cumple que el punto Q₂ se encuentra contenida en la prolongación del segmento Q₁P.

A partir de esto resolvamos el problema en mensión.

Primeramente, como los segmentos QB y QP son tangentes a la circunferencia, sus longitudes deben ser iguales y por tanto el triángulo BQP es isósceles. 

Luego, de acuerdo al teorema demostrado anteriormente, el segmento ST es paralelo al segmento AQ. 

Luego, de acuerdo al corolario consecuencia del teorema, como el segmento AQ, que es tangente a la circunferencia menor, y el segmento ST son paralelos, los puntos M, Q y T son colineales. 

Finalmente, aplicando la definición de ángulo inscrito a la circunferencia mayor se verifica que la medida del ángulo SMT es de 50^o, aplicando la definición de ángulo inscrito y semi-inscrito en la circunferencia más pequeña se verifica que las medidas de los ángulos NMQ y NQP son de 50^o.

De esto se deduce que el ángulo x es de 65^o.