miércoles, 7 de septiembre de 2011

Equilibrio indiferente de un cuerpo sumergido

Un cuerpo cilíndrico, cuya sección transversal se muestra en la figura, se encuentra flotando en equilibrio indiferente en un líquido cuya densidad es el doble que la del cuerpo. ¿Qué condición debe cumplir dicha sección transversal?

RESOLUCION

El matemático judio-polaco Stanislaw Ulam, que participó en el desarrollo de la 1ra bomba atómica (proyecto Manhattan), planteó una pregunta en la decada de 1930 que se hizo muy famosa en los círculos matemáticos de todo el mundo: ¿Es la esfera el único sólido de densidad uniforme que flotará en el agua en cualquier posición?

¿No puede haber otro solido que cumpla esta condición?

La respuesta a esta pregunta, en el caso general de un cuerpo sólido, sigue siendo cuestión abierta, pero una versión bidimensional del mismo si tiene una solución.

Para poder imaginar una versión en dos dimensiones lo mejor es pensar que el cuerpo en cuestión tiene forma cilindrica. Un cilindro circular permanece flotando en equilibrio en cualquier posición que se le deje, siempre y cuando restrinjamos las posiciones a una sección transversal plana. En estas condiciones está claro que un círculo permanece en equilibrio sea cual sea la posición en que lo dejemos.

Pero un círculo es una figura que tiene, entre otras, una propiedad interesante. Posee un punto P, que coincide con el centro de la circunferencia, tal que cualquier segmento que pase por él divide, tanto a su perímetro como a su área, en dos partes iguales.

Pero solo los círculos tienen esta propiedad?

En 1921, el matemático austriaco K. Zindler (1866-1934) planteó el siguiente problema: Encontrar una curva convexa, aparte de la circunferencia, con la propiedad que toda cuerda bisectriz a esta curva, esto es la cuerda que divide a la región en dos superficies de igual área, tenga también la misma longitud.

Tal grupo de curvas que cumple esta condición es llamado ahora curvas de Zindler. Por ejemplo la siguiente figura posee un punto P tal que cualquier segmento que pase por él divide al perímetro y al área en partes iguales.

En un post anterior (equilibrio de cuerpos sumergidos en líquidos) comentamos que si un cuerpo parcialmente sumergido se encuentra en equilibrio indiferente su metacentro debe coincidir con su centro de gravedad. De esto se deduce que, para que se cumpla esta condición, la recta vertical que pasa por el centro de flotación CF debe pasar por su centro de gravedad CG.

Como cualquier segmento que pase por el centro de gravedad CG de este tipo de curvas divide a la región en dos partes de igual área, y por tanto igual peso, y cuando la densidad del cuerpo es la mitad de la del líquido este se encuentra sumergido exactamente hasta su mitad (el punto CG se encontrará en todo momento en la línea de flotación) en cualquier posición que se encuentre el cuerpo el centro de flotación CF y el centro de gravedad CG se encontrarán en la misma vertical.

Como el centro de gravedad CG de este tipo de curvas (punto P) y cuando la densidad del cuerpo es la mitad . . .

CONTINUARA

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