El Viernes 30 de Septiembre del pte propuse un problema reto de Física del tema de cinématica para que sea resuelto usando solo matemática elemental. El problema fue el siguiente:
PROBLEMA
Una partícula es lanzada horizontalmente con una cierta velocidad constante vo desde el punto A, de una superficie cilíndrica de radio R, cuyo eje es una recta horizontal que pasa por O. Determinar el ángulo θ, que define la posición del punto A, para que el tiempo que dicha partícula permanece en el aire dentro del cilindro sea máximo. Despreciar toda clase de rozamiento.Expresar en téminos de la siguiente constante:
Habiéndose cumplido el plazo dado para su resolución (30 de Octubre), Fernando Alva Gallegos y Yunelly Gonzales Rivera han llegado a la solución del problema, pero ninguno ha demostrado matemáticamente que la trayectoria que hace que el tiempo de vuelo sea máximo es aquella en donde los puntos A y B pertenecen a un diámetro.
Mi resolución consta de dos pasos:
Primero, demostraremos que, de todas las parábolas cuyo vértice se encuentra sobre la circunferencia, la de tiempo máximo es aquella en donde los puntos A y B pertenecen a un diámetro.
Segundo, conocida la trayectoria de tiempo máximo, determinaremos el ángulo θ que define la posición de lanzamiento.
Para determinar la trayectoria de tiempo máximo, asumamos que el segmento AB, cuya longitud es d, no pasa por el centro de la circunferencia y forma con la vertical un ángulo genérico ε.
Necesitamos establecer una relación matemática entre el tiempo t y la distancia d para, una vez analizado su estructura algebraica, determinar el valor de d que cumple con la condición del problema.
Recordando que la proyección horizontal de todo movimiento parabólico es un MRU y la vertical es un MVCL tenemos:
Eliminando ε de estas ecuaciones (elevando al cuadrado miembro a miembro y sumando), obtenemos la siguiente ecuación de 2do grado:
Resolviendo esta ecuación, usando fórmula para solución general de la ecuación de segundo grado, tenemos que:
Analizando esta expresión se deduce que, debido a que vo y g son constantes, el tiempo t será máximo cuando d sea máximo, esto es, cuando d = 2R, y cuando se cumple esto, el ángulo ε se convierte en el ángulo θ.
Para determinar el ángulo θ que define la posición de lanzamiento que hace que el tiempo de vuelo sea máximo, usemos las relaciones (1) y (2), pero ahora considerando d = 2R y ε = θ.
Eliminado t de estas ecuaciones:
Finalmente, transformando esta expresión a cosenos y resolviendo la ecuación de 2do grado que se obtiene, tenemos que:
Varias personas han intuido que la trayectoria que cumple con la condición del problema es aquella en que AB es un diámetro, pero nadie lo pudo demostrar fehacientemente.
La intuición o corazonada es buena en el sentido que nos guía y nos da las pautas iniciales para seguir una línea de investigación, pero esta debe ser demostrada y corroborada, o, en todo caso formular una hipótesis de esta intuición.
El mundo físico está lleno de ejemplos que desafían la intuición y el "sentido común". Cualquiera que ha estudiado física cuántica o relatividad sabe esto.
2 comentarios:
¿sería igual el planteamiento si el lanzamiento se realiza con un ángulo de inclinación, es decir, v(x)= v cos(α)?
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