martes, 13 de marzo de 2012

Equilibrio de una barra sobre una superficie cilíndrica

Hace unos día me alcanzaron este problema de equilibrio mecánico propuesto en su material de un ciclo semestral de la academia Cesar Vallejo, que me causó curiosidad porque la única manera práctica de resolverlo es aplicando la interpretación geométrica de la derivada de una función, que es un concepto matemático que según el prospecto de admisión a la Universidad Nacional de Ingeniería (UNI) no es tema de evaluación.

PROBLEMA
Una barra de 11 kg se encuentra en reposo apoyada sobre una superficie horizontal y en una superficie parabólica lisa. Si la barra está a punto de resbalar sobre la superficie horizontal, determine el módulo de la fuerza que ejerce esta superficie sobre la barra. (g = 10 m/s2)

Resolución

Primero, debemos saber que la derivada de una función continua, evaluada en cierto punto, desde el punto de vista geométrico, nos da el valor numérico de la pendiente de la recta tangente a la curva LT que la representa. Aplicando la regla de derivación para potencias tenemos:

De esto se concluye que la tangente del ángulo θ, que forma la recta tangente LT a la superficie con la horizontal, en el punto cuya abscisa es x = 2, es 2 (tan θ = 2).

Construyamos el diagrama de cuerpo libre de la barra en equilibrio mecánico, teniendo presente que como sobre esta actúan tres fuerzas, estas deben ser concurrentes (observe que la fuerza de reacción normal Fn es perpendicular a la superficie de apoyo).

Por otro lado, se demuestra que cuando una superficie se encuentra a punto de resbalar sobre otra superficie áspera, la tangente del ángulo que forma la reacción total R con la recta normal a dicha superficie es igual al coeficiente de rozamieto estático (μe) entre estas.

A continuación, construyamos el triángulo de fuerzas, considerando R = 10 x.

En el triángulo de fuerzas mostrado se cumple que 8x + 3 x = 110, y por tanto x = 10. De este resultado se concluye que el valor de la reacción R es de 100 N.

3 comentarios:

DKTa dijo...

Interesante la solución del problema y darle gracias por parte de un estudiante que también le apasiona la ciencia física, bueno pero sin querer molestarle le pido por favor que si podría desarrollar el problema 158 de Física; de Problemas Selectos editorial Lumbreras, si pudiese encontrar el material y lo resolvería estaria muy complacido.

Orlando dijo...

Si me lo escaneas y me lo mandas a mi correo orlan2_r@yahoo.com lo hare con gusto. Salu2

DKTa dijo...

Surgieron algunos inconvenientes al mandarle la imagen a vuestro correo electrónico y buscando alguna solución se nos ocurrió alzarlo en algún servidor; y este es el problema.
1-http://img525.imageshack.us/img525/9499/24811056.jpg
2-
http://img140.imageshack.us/img140/2016/48727992.jpg

El segundo problema también nos ocasiona un poco de dificultades y esperamos vuestra ayuda para poder resolverlo, desde ya Saludos de parte de los estudiantes de Semestral Cesar Vallejo y gracias de antemano.

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