Problemas de equilibrio: academia Cesar Vallejo

Hace unas horas unos alumnos del ciclo semestral de la academia Cesar Vallejo, me consultaron un par de problemas de equilibrio que merece la pena publicar su resolución.

PROBLEMA
Una esfera lisa y homogénea de 7 kg se encuentra en reposo. Determine el módulo de la fuerza que ejerce la superficie curva sobre ella. (g=10 m/s²).

Resolución

Este problema es similar en su concepción a un problema que resolví en un post anterior, que también era de la academia Cesar Vallejo.

Primero, debemos derivemos la función continua para determinar la pendiente de la recta tangente a la curva L_T que representa geométricamente la función. Aplicando la regla de derivación para potencias tenemos:

De esto se concluye que la tangente del ángulo θ, que forma la recta tangente L_T a la superficie con la horizontal, en el punto cuya abscisa es x = 1, es 3/4 (tan θ = 3/4).

Por otro lado, como la pendiente de la recta que define el plano inclinado es -3/4, se concluye que la tangente del ángulo ε es 3/4 (tan ε = 3/4), y por tanto θ = ε ≈ 37^o.

A continuacoón, construyamos el diagrama de cuerpo libre de la esfera en equilibrio mecánico, teniendo presente que como sobre esta actúan tres fuerzas, estas deben ser concurrentes (observe que ambas fuerzas de normal son perpendiculares a sus respectivas superficie de apoyo).

Finalmente, a partir del triángulo de fuerzas formado, se deduce que: N₁ = N₂ = 43,75 newton.

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PROBLEMA
Una varilla lisa y homogénea de longitud 2L se apoya en el borde de una copa semiesférica de radio R. Para qué valores de L la varilla se mantiene en la posición mostrada.

Resolución

Resolveré este problema usando criterios geométricos, como lo expuse en un post anterior.
Hagamos DCL de la barra en equilibrio, teniendo en cuenta que las tres fuerzas que actúan sobre esta deben ser concurentes (concurren en el punto P).

Observe que las fuerzas de reacción en los puntos de contacto deben ser normales a las superficies de apoyo.
A partir de esto, resolveremos el problema a partir de consideraciones geométricas.
Como el segmento OT es horizontal, y la longitud de los segmentos OT y OQ son iguales al radio de la circunferencia, se demuestra que el triángulo OPT es isósceles y por tanto O es punto medio de PQ.

Del triángulo PQS mostrado se deduce que:

Resolviendo esta ecuación cuadrática, respecto de cos θ, tenemos que:

El mínimo valor del ángulo θ (0^o) se dará cuando:

De esto se deduce que L = 2 R. Conforme la longitud de la varilla disminuye, sin que el radio R cambie, el ángulo θ irá disminuyendo. El máximo valor θ se dará cuando el extremo superior de la varilla coincida con el borde del casquete.

Del gráfico adjunto se deduce que cos θ = L/R. Reemplazando esto en la solución para cos θ obtenida previamente tenemos: