domingo, 16 de diciembre de 2012

Trabajo mínimo para sacar un hemisferio del agua

Este problema lo propuse originalmente en un medio impreso en el año 1992 (¡hace 20 años!) y este año lo volví a proponer como problemas de entrenamiento para la Olimpiadas (PROBLEMA 3).
PROBLEMA
Una semiesfera de 8 kg de masa y 20 cm de radio se encuentra en el fondo de un depósito que contiene agua. Determine el trabajo mínimo que se debe realizar sobre la semiesfera para sacarla del agua (g = 10 m/s2).

Este problema se resuelve normalmente usando métodos de integración ya que se requiere cada vez una mayor fuerza conforme el cuerpo va saliendo a flote.
No obstante, este tipo de problemas en donde un cuerpo se mueve muy lentamente en el interior de un liquido en reposo, lo resuelvo haciendo uso del concepto, críticado por algunos puristas, de energía potencial hidrostática, que no se encuentra en la literatura científica.
Cuando un cuerpo se encuentra parcial o totalmente sumergido en un fluido, se le puede asociar a la fuerza de empuje hidrostático una energía que la he denominado energía potencial hidrostática.
A continuación, resolveremos este problema teniendo en cuenta que el trabajo mínimo que un agente externo debe realizar para sacar la semiesfera del agua, es cuando esta se mueve muy lentamente (su energía cinética tiende a cero) y por tanto este trabajo es igual a la diferencia de sus energía potencial final e inicial.
Tomando como nivel de referencia una recta horizontal que pasa por el centro de gravedad de la semiesfera en el estado inicial, en el estado inicial solo existe energía potencial hidrostática y en el estado final solo existe energía potencial gravitatoria.
De donde reemplazando datos, tenemos:
Otro problema que he resuelto anteriormente, en donde aplico este concepto, es el que fue propuesto en un examen para profesores de Física de la corporación educativa TRILCE y donde fui criticado por algunos por hacerlo público, porque supuestamente era un examen interno. Vamos señores, la divulgación de la ciencia esta primero!

El problema es el siguiente:
PROBLEMA
Se deja flotar un cubo de arista igual a L = 20 cm en un recipiente que contiene aceite y agua como se muestra en la figura. Considerando ρcubo = 0,32 g/cm3, ρaceite = 0,8g/cm3 y ρagua = 1 g/cm3, hallar el trabajo mínimo necesario de una fuerza vertical hacia abajo que permite ubicar el cubo íntegramente sumergido en agua. (g = 10 m/s2)

A continuación, otros problemas similares.

PROBLEMA
Una capa gruesa de aceite con densidad de 0,8 g/cm3 se coloca en la parte superior del agua en un tanque. El área de la base del tanque es muy grande. Un cubo de magnesio se coloca en el tanque de tal manera que su cara superior está a 0,5 dm debajo del límite. El lado del cubo es de 2 dm y su densidad es de 1,7 g/cm3. El cubo se tira entonces de modo que su cara inferior esté 0,5 dm por encima del límite. ¿Cuánto trabajo se llevó a cabo?


PROBLEMA
Una pieza en forma de paralelepípedo de madera cuya área de la base es 1 dm2 y altura 4 m está flotando verticalmente en un estanque, debido a que su centro de masa no está en su centro geométrico. Para hacer que la madera se sumerga y flote en posición horizontal como se muestra, tenemos que ejercer una fuerza hacia abajo de F = 80 N en su extremo. Determine el trabajo realizado a la madera para moverlo de la posición inicial a la final.


PROBLEMA
Un contenedor metálico de forma de paralelepípedo de base cuadrada, cuya masa es de 13 kg, tiene una altura de 6 dm, lado de la base de 2 dm, y está lleno hasta la mitad de agua. El recipiente se coloca sobre su lado en la parte inferior de un depósito en forma de paralelepípedo, cuya área de la base es 20 dm2 y en la que el nivel de agua está a una altura de 4 dm. Encontrar el trabajo total que se requiere para poner de pie en posición vertical el recipiente metálico sobre su base cuadrada.

2 comentarios:

Gustavo dijo...

Hay un problema con esta solucion.Usted asume que el nivel del liquido no varia,lo cual es admisible si el deposito es de capacidad "infinita",pero eso no esta contemplado en el enunciado del problema.En realidad el liquido baja un poco cuando la esfera sale,con lo cual lo que sube el centro de masa de la esfera no es exactamente R sino un poco menos.Creo que el enfoque energetico que Ud. plantea es el correcto y el mas ilustrativo desde el punto de vista fisico,y tambien la solucion siempre y cuando se aclare el punto mencionado.Si consideramos un recipiente finito,por ejemplo del mismo radio de la esfera,el cambio de nivel puede ser muy grande y la solucion es diferente aunque tambien se la puede obtener con un planteo energetico similar.

Gustavo dijo...

Felictaciones por el sitio esta muy bueno.

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